зоне, называют невырожденными. Для них действительно распределение Максвелла - Больцмана (1-6), которое было использовано при интегрировании. Потенциал Ферми для невырожденных полупроводников имеет вид:

Ч>рЧ>с + Ч>тп-щ; (1-13а)

Ч/=фв-Ч7-1Пр-,. (1-136)

Вычитая или складывая выражения (1-13), легко получить соответственно выражения (1-8) и (1-9). Нетрудно заметить также, что. у невырожденных полупроводников потенциал Ферми всегда лежит в запрещенной зоне, поскольку логарифмы в обоих выражениях (1-13) отрицательны.

2. Положим х > О и X фг. Тогда при г) > х/фг подынтегральное выражение быстро приближается к нулю, интегрирование в этом диапазоне не имеет смысла. Поэтому примем в качестве верхнего предела интегрирования т) = х/фг- С учетом исходных предпосылок относительно х можно считать знаменатель подынтегрального выражения равным единице в диапазоне О rj < х/фг-

Выполнив интегрирование, получим простое уравнение:

решениями которого будут химические потенциалы:

/3 /лУ I п \2/з /3 VnV I р \2/з

Эти решения действительны при условии v 1 (практически при V > 3), так как с самого начала принято х Фг- Полупроводники, у которых соблюдается условие v > 1, т. е. концентрация свободных носителей существенно превышает эффективную плотность состояний в разрешенной зоне, называют вырожденными или полуметаллами (см. § 1-4). Для них распределение Максвелла-. Больцмана недействительно и в случае сильного вырождения заменяется ступенчатой функцией (F я 1 при ц < х/фг и F О при т > х/фг), которая была использована при интегрировании. Критерии вырождения (v > 1) имеют вид:

>N, = 2(f; (1-14а)

p>N. = 2(f. .(1-Г46)

Легко убедиться, что потенциал Ферми для вырожденных полупроводников лежит внутри соответствующей разрешенной зоны, поскольку химические потенциалы Хп и положительны. В частности, это относится к металлам (см. рис. 1-9). ;

Термин уровень Ферми обычно используется для равновес-нбго состояния системы, в котором значения (1-13а) и (1-136) совпадают. В неравновесном состоянии значения (1-13а) и (1-136), вообще говоря, различны, тогда их назьшают соответственно квазиуровнями Ферми для электронов и для дырок: и [23.

1-7. КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ

В собственном полупроводнике концентрации свободных электронов и дырок одинаковы: п = р. Тогда из формул (1-9) и (1-13) следует, что при любой температуре уровень Ферми собственного полупроводника расположен вблизи середины запрещенной зоны (см. рис. 1-14), т. е. ф/г фя*. Подставляяп = р в формулу (1-8), легко получаем концентрации свободных электронов и дырок в собственном полупроводнике (индекс i от английского слова intrinsic - настоящий):

ni = p. = ]/N,Ne 2фг о5.1(31б / уз/г рт (1.15)

Равенству концентраций щ и pt соответствует на рис. 1-14 идентичность кривых, характеризующих концентрацию свободных носителей в соответствующей разрешенной зоне.

Зависимость собственных концентраций nt и pi от температуры очень сильна и обусловлена в основном изменением температурного потенциала в показателе экспоненты, а не степенным множителем Т/. Столь же сильно зависит собственная концентрация от ширины запрещенной зоны при данной температуре Так, сравнительно небольшое различие в значении фз у германия и кремния (0,67 и 1,11 В) приводит к различию собственных концентраций при комнатной температуре более чем на 3 порядка (см. табл. 1-1). Сравнивая (1-8) и (1-15), соотношение (1-8) можно записать в более компактной форме:

пр = п1 (1-16)

которую и будем использовать в дальнейшем.

Соотношение (1-16) говорит о том, что увеличение концентрации одного типа носителей сопровождается уменьшением концентрации другого типа носителей. Так, для электронных полупроводников, у которых п Hi, имеем р < п,-, а для дырочных полупроводников, у которых р щ, имеем п щ.

Фу, N.

* Строго говоря,

Фл- = + 2 In N7 +Чт* однако эта поправка практически несущественна.

Используя формулы (1-16) и (1-7) и полагая = N. , нетрудно выразить концентрации пир через собственную концентрацию П;-.

Фр-Фп

П= nfi

(1-17а) (1-176)

Отаода легко получить потенциал Ферми в двух формах:

Ч>р=Ч>Е + Ч>т1п--;

(1-18а) (1-186)

С помощью выражений (1-18) легко еще раз убедиться в том,

что у электронных полупроводников, у которых Щ и р <п1,

Рис. 1-15. Плотность уровней энергии, функция вероятности и концентрация носителей в примесном полупроводнике и-типа.

Рис 1-16. Плотность уровней энергии, функция вероятности и концентрации носителей в примесном полупроводнике р-типа.

уровень Ферми лежит в верхней половине запрещенной зоны (рис. 1-15), а у дырочных полупроводников, у которых р > и п <щ, - в нижней половине запрещенной зоны (рис. 1-16) *.

Для того чтобы определить потенциал по формулам (1-13) или (1-18), нужно знать концентрации свободных носителей. При оценке значений пир используют условие нейтральности (точнее, квазинейтральности) полупроводника. Это важное условие обосновано в работах [2, И] (см. также § 1-12) и формулируется следующим образом: в однородном тлупроводнике не может быть существенных некомпенсированных объемных зарядов ни в равновесном состоянии, ни при наличии тока. Поэтому в общем виде

* Поскольку энергетические уровни примесных атомов совпадают, плотность этих уровней на диаграммах характеризуется бесконечно узкими и бесконечно высокими пиками , площадь которых равна концентрации доноров или акцепторов. Математически такие пики описываются б-функцией.