Вероятность нахождения электрона на том или ином уровне дается распределением Ферми - Дирака

F (W-) = -WrrV-. (1-16)

е +1

где k - постоянная Больцмана (табл. 1-2); Т - абсолютная температура; Wp - энергия, называемая уровнем Ферми .

В дальнейшем будет удобнее выражать энергию не в джоулях, а в электронвольтах или просто в вольтах (численно эти величины одинаковы). Чтобы перейти от одной размерности к другой, достаточно разделить энергии W и kT яа элементарный заряд q (см. табл. 1-2). Сделав такую замену в формулах (1-1), получим:

P(cp)JP-)/; (1.2а)

/Лф)- . (1-26)

где Р (ф) - плотность уровней, 1/ (В-см); (p=W/q - потенциал, характеризующий энергию; ф/? - уровень Ферми в вольтах (потенциал Ферми); фг - температурный потенциал:

кТ Т оч

Р = ТТГбоо-- (-

Название температурный потенциал для величины фт- вполне оправдано, поскольку она имеет размерность напряжения и пропорциональна температуре . Полезно запомнить, что при температуре Т 300 К (которую мы условно будем называть комнатной ) температурный потенциал

Фг(300 К) 0,025 В, или 25 мВ.

На рис. 1-14 функции Р (ф) и F (ф) показаны на зонной диаграмме собственного полупроводника. Однако ближайшие выводы будут в равной степени относиться к примесным полупроводникам; специфика тех и других будет рассмотрена позже.

В невырожденных полупроводниках (см. § 1-6) уровень Ферми ф всегда лежит в запрещенной зоне. Глубину его залегания можно характеризовать расстоянием от одной из разрешенных зон, выраженным в единицах температурного потенциала фг- В боль-

* С формальной точки зрения энергия Wp соответствует такому энергетическому уровню, вероятность заполнения которого равна /g. Подробнее уровень Ферми рассматривается в § 1-6.

* С физической точки зрения температурный потенциал есть выраженная в электрических единицах статистическая температура или близкая к ней средняя кинетическая энергия свободного электрона в электронном газе [9].

шинетве случаев уровень ф/г залегает глубоко, т. е. соблюдаются неравенства

Фс-Ч>ф7-; (1-4а)

ф/-Ф >ф7-, (1-46)

где фс и - потенциалы дна зоны проводимости и потолка валентной зоны (индексы происходят от английских названий этих зон: conduction band и ualence band).

При температуре Т = О К функция Fn (рис. 1-14) имеет ступенчатый характер, это соответствует уже известным фактам:

валентная зона полностью заполнена (F = 1), зона проводимости пуста (Fn = 0).

При температуре Тф О К ступенька функции Fn сглаживается и получается конечная (хотя и крайне малая) вероятность нахождения электронов в зоне проводимости. Одновременно вероятность нахождения электронов в валентной зоне делается немного меньше единицы. В последнем случае удобнее пользоваться вероятностью отсут-уровнях или, что то же самое, вероят-

Рис. 1-14.

функция

Плотность уровней энергии, вероятности и концентрация

носителей в собственном полупроводнике.

С т В и Я электронов на ностью наличия дырок:

Fp=l

(1-5)

Учитывая неравенство (1-4а), нетрудно убедиться, что в зоне проводимости, где ф - > О, экспонента в выражении (1-26) намного превышает единицу и функция F упрощается:

Fne чт . (1-6а)

Аналогично, учитывая неравенство (1-46), убеждаемся, что и в валентной зоне, где ф - ф/г < О, экспонента в выражении (1-5) много больше единицы и функция Fp также упрощается:

<Рр -Q

(1-66)

1 Если обозначить левые части неравенств (1-4) через Д, то практически эти неравенства будут означать Д 2,3 ф, так как тогда е* > 10 > 1

А/ФГ

й < 0,1 1, что вполне достаточно для соответствующих пренебрежений и упрощений.

функции (1-6), которые являются частным случаем распределения Ферми - Дирака (для области энергий, достаточно отличных от ф/г), называются распределением Максвелла - Больцмана. Это распределение представляет собой основу теории полупроводников.

Концентрация свободных электронов в зоне проводимости определяется интегралом

п = 2 \ Р(ф-Фс)Лф)Ф,

где подынтегральное выражение есть количество заполненных уровней в элементарном интервале энергий йф, расположенном в зоне проводимости, а множитель 2 означает, что на каждом уровне могут (по принципу Паули) находиться два электрона. Подставив (1-2а) и (1-6а) под знак интеграла, после несложных преобразований получим:

п=Ь],е . (1-7а)

где .

/2лт (7фт. \з/2 /т \з/2

\ / \т I

- эффективная плотность состояний (на 1 см) в зоне проводимости 2.

Из (1-7а) следует, что есть максимально возможная концентрация электронов в невырожденном полупроводнике, получающаяся при условии Ф-)-фс. По физическому смыслу величина Nc близка к плотности энергетических уровней в зоне проводимости (на 1 см) в полосе энергий от фс до ф + фг, что можно подтвердить интегрированием функции (1-2а) в соответствующих пределах.

Концентрация свободных дырок в валентной зоне определяется интегралом

р = 2 f Я[ (ф-ф,)]р(ф)(-йф).

1 В процессе преобразований интеграл приводится к виду

П=(ф-Фс)/Фг.

2 Если положить ч>р > ф, то из (1-7а) следует качественно правильное соотношение п > N., характерное для вырожденных полупроводни ков (см. § 1-6) и металлов. Однако в этом случае для количественной оценки выражение (1-7а) непригодно, так как оно основано на распределении Максвелла-Больцмана, которое действительно лишь при фг < ф, [см. (1-4а),1.