Равновесное состояние. В равновесном состоянии полупроводника процессы генерации - рекомбинации подчиняются закону действующих масс. Пусть имеется электронный полупроводник, в котором, как известно, наличие свободных электронов обусловлено двумя факторами: ионизацией донорных атомов и ионизацией атомов основного материала (см. с. 32). Запишем соответствующие обратимые реакции:

(свободный электрон) + (ионизированный донор) (нейтральный донор);

(свободный электрон) + (свободная дырка) (связанный электрон валентной зоны).

Обозначим концентрации частиц, участвующих в этих реакциях, через 0. Лд. Лд - Лд. Ро. - величины, известные из предыдущих параграфов .

Тогда согласно закону действующих масс количественные характеристики записанных реакций должны выражаться форму-

лами [9

- .(П. (1-396)

где Ki (Т) и Ki (Т) - так называемые коэффициенты действующих масс, зависящие от температуры.

Из выражения (1-39а), в частности, следует, что примесные атомы принципиально не могут быть ионизированы полностью, хотя разность Лд - может бьп-ь очень малой. Выражение (1-396) равносильно соотношению (1-8), которое было получено с учетом конкретных законов распределения и в котором поэтому коэффициент /Сг (Т) расшифрован :

Ка(Г) = К,е-Рз/ .

Произведение ПоРо в формуле (1-396) по смыслу соответствующей реакции характеризует процесс рекомбинации, а произведение Ki (Т) N, - процесс генерации. Таким образом, скорость рекомбинации пропорциональна произведению концентраций рекомбини-рующих частиц. Это обстоятельство вполне естественно, так как рекомбинация электрона тем вероятнее, чем больше электронов в данном объеме и чем больше дырок, с которыми он может рекомби-нировать.

Исходя из приведенных соображений, можно записать условие равновесия (1-396) в форме

( оРо)=&. (1-40)

Концентрации С индексом О здесь и в дальнейшем соответствуют равновесному состоянию. Для концентрации связанных электронов вместо N. - Ро использовано значение N , поскольку Po<Nb.

где левая часть есть скорость рекомбинации (г - коэффициент рекомбинации), а go = rKv - скорость генерации. Параметры г и go не зависят от концентрации свободных носителей.

Величина гроПо есть количество актов рекомбинации в единице объема и в единицу времени, а По - количество электронов в единице объема. Следовательно, гро есть вероятность рекомбинации одного электрона в единицу времени , а обратная величина будет средним интервалом между актами рекомбинации, т. е. средним временем жизни электронов:

= - (1-41)

Аналогичные рассуждения приводят к выражению для среднего времени жизни дырок:

Tp = J-. - (1-416)

Формулы (1-41) можно получить из (1-40) непосредственно, если воспользоваться следующим определением времен жизни:

т -

(1-42)

где Ro = гПоРо - скорость рекомбинации носителей в равновесном состоянии.

Как видно из (1-41) и (1-42), равновесные времена жизни электронов и дырок в об1цем случае резко различны. Это объясняется тем, что скорости рекомбинации обоих типов носителей одинаковы (так как они рекомбинируют парами), а концентрации По и ро могут различаться на много порядков.

С использованием времени жизни условие равновесия (1-40) запишется следующим образом:

?-?=о. (1-43)

Еще одну форму записи того же уравнения (1-40) можно получить, используя вероятности нахождения электронов и дырок в той или иной зоне. Рассмотрим отдельно запись левой и правой частей (1-40) при таком методе.

Пусть вероятность наличия электрона в верхней части валентной зоны есть F y. Тогда вероятность наличия дырки в той же части зоны будет 1 - .F .

* Отсюда следует, что коэффициент рекомбинации г есть вероятность захвата электрона в единицу времени при единичной концентрации дырок. Такой вывод подтверждается структурой коэффициента г [5]:

где Оэфф - эффективное сечение захвата электрона одним из атомов, содержащих дырки; Vj- - средняя тепловая скорость электронов (1-27)... .,

Эта вероятность * равна отношению фактической концентрации дырок Ро к концентрации N,:

Если из этого равенства выразить концентрацию Pq и подставить ее в левую часть (1-40), то величину /ЯдРо можно записать как скорость рекомбинации электронов:

nonRoO-nv). (1-44а)

Коэффициент Ci = /N по аналогии с величиной гр, рассмотренной при выводе (1-41а), есть вероятность захвата электрона в единицу времени при р == = N, т. е. при условии, что верхняя часть валентной зоны протяженностью фу. пуста. Обратная величина C~}j = х есть среднее время жизни электронов при том же условии, т. е. в ярко выраженном (идеальном) дырочном полупроводнике. Время жизни т р в отличие от т не зависит от концентрации подвижных носителей, т. е. является параметром материала.

Используя вероятность наличия электрона в нижней части зоны проводимости Fnc - o/Nc) можно записать левую часть (1-40) как скорость рекомбинации дырок:

po=S/?onc. (1-446)

где CpJ = /N - вероятность захвата дырки при = N, т. е. при условии по.чностью заполненной нижней части зоны проводимости протяженностью ф. Обратная величина CJ = тд есть среднее время жизни дырок в ярко выраженном (идеальном) электронном полупроводнике, не зависящее от концентрации подвижных носителей.

Поскольку величины N, и N(. одного порядка (см. § 1-5), времена жизни t q н Тро тоже близки друг к другу, хотя и могут различаться в несколько раз.

Правую часть (1-40) можно представить в такой же форме, как (1-44), если рассматривать генерацию носителей как обратную рекомбинацию . Соответственно скорость генерации можно записать либо как скорость генерации электронов:

g o=C N(l-f ,)C N, (1-45а)

либо как скорость генерации дырок:

gpo=CpN,f ,= CpN,. (1-456)

Коэффициенты C g и Ср - вероятности генерации соответствующих носителей при условии, что зопа проводимости пуста, а валентная зона заполнена. Значения C g и Cpg близки друг к другу.

Уравнение (1-40) можно записать в разных формах, приравнивая выражения (1-44) и (1-45). При этом устанавливается однозначная связь между коэффициентами и С,:

(1-46а)

(1-466)

Буква F с черточкой означает интегральную вероятность, поскольку речь идет о наличии электронов или дырок на любом из уровней зоны (в интервале ф, отсчитанном от граничного уровня), тогда как буква F без черточки означает вероятность наличия носителя иа определенном уровне зоны (см. § 1-5).