условие нейтральности для единичного объема записывануг так: P + Nl-{n + N%) = 0. (1-19а)

где Лд, Nt - концентрации ионизированных доноров и акцепторов . Уравнение (1-19а) говорит о том, что концентрация частиц, несущих положительный заряд (дырки и ионизированные доноры), равна концентрации частиц, несущих отрицательный заряд (электроны и ионизированные акцепторы).

Для электронных полупроводников, не содержащих акцепторов,

п = Л*4-р. (1-196)

Для дырочных полупроводников, не содержащих доноров,

р:Щ + п. (1-19B)

В случае равновесного состояния к уравнению (1-196) легко прийти путем следующих рассуждений. Разделим концентрацию свободных электронов на две части:

где концентрация Ид обусловлена электронами доноров, а концентрация тг- электронами валентной зоны. Так как уход каждого электрона из валентной зоны сопровождается образованием дырки, то = р. Так как уход алектрона с донорного уровня сопровождается образованием ионизированного донора, то д = N*, где N* - эффективная концентрация ионизированных доноров. С учетом этих соотношений равенство п= + щ переходит в условие нейтральности (1-196). Аналогичные рассуждения для дырочного полупроюдника приводят к условию (1-19в).

Прежде чем использовать уравнения (1-19), необходимо определить концентрации ионизированных примесей.

Значение Лд можно найти из следующих соображений. Вероятность заполнения донорного уровня фд равна F (фд). Тогда 1 - F (фд) есть вероятность отсутствия электрона на донорном уровне, т. е. вероятность ионизации донора. Умножая эту вероятность на Лд, находим искомую концентрацию ионизированных доноров :

(1-20а)

2е -fl

Подставляя в (1-20а) значение ф/? из (1-13а), после небольших преобразований получаем:

N*= -. (1-206)

* Ионизация примеси может быть либо следствием перехода носителя в одну из разрешенных зон, либо захвата его примесью другого типа (см. рис. 1-13).

2 В качестве функции F использовано общее выражение (1-26), поскольку расположение уровня Ферми относительно уровня доноров не ограничено условиями типа (1-4) и, следовательно, использование упрощенного выражения (1-6а) недопустимо. Коэффициент 2 при экспоненциальном члене является результатом более строгого анализа (см. [5]).

Здесь = Фс - фд - расстояние между донорными уровнями и зоной проводимости, которое можно назвать потенциалом ионизации доноров.

Учитывая, что вероятность ионизации акцептора есть вероятность заполнения акцепторного уровня, т. е. F (фа), нетрудно получить аналогичные выражения для концентрации ионизированных акцепторов N%. Для зтого в формулах (1-20) достаточно заменить УУд на Ла, ф/. - фд на ф - ф-, п на р, N<; на и фд на ф. , где фад = Фа - Фв - потенциал ионизации акцепторов.

Перейдем непосредственно к оценке концентраций свободных носителей. Рассмотрим сначала электронные полупроводники.

В типичном электронном полупроводнике выполняется неравенство п р. Кроме того, в рабочем диапазоне температур донорные атомы практически полностью ионизированы, т. е. N1 s УУд Тогда из соотношения (1-196) получаем концентрацию свободных электронов:

п = Лд, (1-21 а)

которая, как видим, определяется концентрацией примеси и, следовательно, не зависит от температуры. С помощью (1-16) легко получаем концентрацию свободных дырок:

P = n?ЛVд, (1-216)

которая согласно (1-15) очень сильно - экспоненциально - зависит от температуры. Наконец, из (1-18а) или (1-13а) находим уровень Ферми в типичном электронном полупроводнике:

ф?=Фв-Ьф7-1п = Фс-1-Фг1п. (1-21в)

Выражение (1-21в) позволяет сделать вывод, что уровень Ферми лежит тем выше, чем больше концентрация доноров и чем ниже температура.

Простые формулы (1-21) широко используются на практике. Однако следует иметь в виду, что они действительны в ограниченном температурном диапазоне: с понижением температуры степень ионизации доноров уменьшается и принятое равенство Лд = Ыц становится менее строгим. С повышением температуры увеличивается концентрация собственных носителей и постепенно нарушается принятое неравенство п р (электронный полупроводник превращается в собственный).

Обозначим через Ti и нижнюю и верхнюю границы температурного диапазона, в котором действительны формулы (1-21); назовем температурой ионизации примеси, а - критической температурой полупроводника.

Положим, что полная ионизация соответствует условию N1 == = 0,9 Л/д. Тогда из выражения (1-206), в котором можно принять п = N%= 0,9 Л/д, находим температуру ионизации в следующей

неявной форме :

Фг(Т01п = Ф . (1-22а)

Это трансцендентное уравнение решается методом последоЁа-тельных приближений. Подставляя для германия ф<.д = 0,01 В и полагая Лд = 10 *, получаем 64 К. Для кремния при

Фсд = 0,05 В и той же концентрации Лд получается 145 К. С увеличением концентрации доноров температура ионизации возрастает, но практически она всегда меньше нижней границы рабочего диапазона полупроводниковых приборов (-60°С или 213 К)-

Положим, что превращение примесного полупроводника в собственный соответствует условию п = 100 р. Тогда из (1-16) легко находим: п = 10 щ\ р = п/Ю. Если подставить эти значения в (1-196), принять N% = Np , а концентрацию щ выразить с помощью (1-15), считая N, = Nc, то после преобразований получим критическую температуру в форме, аналогичной (1-22а) :

Фг(7.)1п1 = . (1.226)

Для германия с концентрацией доноров ЛГд == 10® получается Та ~ 360 К, т. е. около 90°С. Для кремния при той же концентрации примеси критическая температура существенно выше и составляет около 250. Это является одним из важнейших преимуш,еств кремния как материала для полупроводниковых приборов. С увеличением концентрации доноров критическая температура растет.

Если выразить концентрацию примесей через удельное сопротивление (см. § 1-8), то после преобразований формулу (1-226) можно записать в полуэмпирической форме:

(°С) = 27з(-1), (1-23)

где для кремния М = 10; m = 4,53; для германия М = 6,6; т = = 4,63, а р выражено в Ом-см [12].

Оценим концентрацию носителей и уровень Ферми за границами температурного диапазона - Т.

Если в выражении (1-196) положить N% = N;, р = пУп и решить получающееся квадратное уравнение относительно п, то концентрация электронов в области высоких температур (Т > примет вид:

4nf + -95. (1-24а)

Допущение п= N* вытекает из (1-196), поскольку в области низких температур неравенство и > р сохраняется и даже усиливается.

2 Допущение N* = оправдано тем, что в области высоких температур степень ионизации доноров согласно (1-20а) возрастает. В формулу (1-226) подставляют значения фз с учетом температурной чувствительности (см. с. 26).