Концентрация дырок в этой области получится из соотношения (1-196) при yV = Лд:

P-VWf + ~T- (1-246)

Подставляя найденные значения концентраций в формулы (1-18), легко получить уровень Ферми в области высоких температур:

Ф=Фв+Фг1п[]/ ()Ч1+]. (1-24В)

Очевидно, что выражения (1-24) являются обобщениями выражений (1-21).

Если в выражении (1-196) положить р = О, подставить в него N* из (1-206) и решить получающееся квадратное уравнение относительно п, то концентрация электронов в области низких температур (Т Ti) имеет вид:

Г (1-25а)

В области сверх низких температур, когда можно пренебречь членами Nc/4 [этому случаю соответствует пренебрежение единицей в знаменателе (1-206), т. е. условие /V*-< N, формула (1-25а) упрощается и переходит в следующую:

1. (1-256)

Такому значению концентрации п соответствует согласно (1-13а) уровень Ферми:

Ф=Фс--2 + Т Щ- (1-25В)

Нетрудно убедиться, что последнее слагаемое в формуле (1-25в) стремится к нулю, когда 7 О, т. е. уровень Ферми при нулевой температуре расположен посередине между уровнем доноров и дном зоны проводимости. Полезно также заметить, что формула (1-256) имеет большое структурное сходство с формулой (1-15): по существу плотность уровней заменена концентрацией ЛГд, а ширина запрещенной зоны Фз = фс - - шириной запрещенной зоны фд = = Фс - фд. Такой результат вполне естествен, поскольку в области сверхнизких температур собственные носители практически отсутствуют и поставщиком электронов являются только донорные уровни, играющие роль валентной зоны.

Мы рассмотрели концентрацию носителей для отдельных участков температурного диапазона. Общее выражение для концентрации п и соответственно для величин р к (рр можно найти, подставив в (1-196) значение N* ий\(1-20б) и значение р из (1-16). Получающееся при этом полное кубическое уравнение относительно п в принципе решается, но решение слишком громоздко и имеет чисто теоретическое значение. - У

Случай дырочного полупроводника, в котором п, нет необходимости рассматривать столь же подробно. Главные особенности акцепторной примеси видны из рис. 1-16. Если акцепторы полностью ионизированы и температура ниже критической, то вместо формул (1-21) получаем аналогичные соотношения, характер-

ньзе для ярко выраженного дырочного полупроводника:

Р==К; (1-26а)

п = пуы; (1-266)

(1-26в)

Как видим, уровень Ферми лежит тем ниже, чем больше концентрация акцепторов и чем меньше температура.

Остаются в силе понятия температуры ионизации и критической температуры. Для их определения в формулах (1-22) следует заменить /д на Ла. на и ф<;д на фд.

Аналогичная замена параметров в формулах (1-24) и (1-25) позволяет найти концентрации в области высоких и низких температур и затем определить уровень Ферми.

N2 -

<Ре1

Рис. 1-17. Зонные диаграммы неоднородного полупроводника (а) и однородного полупроводника при наличии внешнего электрического

поля (б).

Все предыдущие зонные диаграммы соответствовали однородным полупроводникам, в которых примеси распределены совершенно равномерно. Разумеется, однородный полупроводник является некоторой идеализацией. Более того, часто специально создают неоднородность внутри кристалла в виде градиента концентрации примесей, что придаёт полупроводнику свойства, необходимые для ряда приборов. Посмотрим, каковы особенности неоднородных полупроводников.

Пусть, например, в полупроводнике типа п концентрация доноров изменяется от Ni до N < Лд1- Согласно (1-21в) разность 4>F - ф£ уменьшается с уменьшением концентрации Лд. Поскольку в равновесной системе уровень Ферми во всех ее частях одинаков, зонная диаграмма должна иметь такой вид, как на рис. Ы7, а. Электростатический потенциал фд вдоль неоднородного полупроводника меняется. Следовательно, в неоднородных полупроводниках имеются внутренние электрические поля, в которых возможен дрейф носителей. Однако в отсутствие внешнего поля дрейфовые потоки носителей равны противоположно направленным диффузионным потокам тех же носителей,.обусловленным градиеи-

том их концентрации (в общем случае - градиентом химического потенциала). Поэтому результирующий поток отсутствует и соблюдается больцмановское равновесие (см. § 1-6).

Для сравнения на рис. 1-17, б показана зонная диаграмма однородного полупроводника при наличии внешнего электрического поля (напряженность Е = d<fE/dx та же, что и на рис. 1-17, а). Если в силу условия квазинейтральности принять концентрации носителей неизменными вдоль оси х, то будут неизменными и химические потенциалы, т. е. расстояния уровня (рр от краев разрешенных зон. Тогда согласно (1-18) получаем ф/с/л: = = d(pE/dx, т. е. имеет место градиент уровня Ферми, как и должно быть при нарушении равновесия (внешнее электрическое поле вызывает протекание тока) . Наличие градиента уровня Ферми обусловливает принципиальное отличие данного случая от предыдущего (рис. 1-17, а) несмотря на внешнее сходство перекошенных зонных диаграмм.

Заметим, что наличие внутреннего электрического поля, вообще говоря, означает нарушение условия квазннейтралькости, однако если поле почти постоянное, то объемные заряды не существенны.

Все сказанное действительно и для полупроводника типа р с учетом специфики расположения уровня Ферми. Легко, например, убедиться, что при убывании концентрации акцепторов слева направо зоны искривляются не вверх, как на рис. 1-17, а, а вниз.

Зонные диаграммы неоднородных полупроводников строятся по формулам (1-21 в) и (1-26в).

1-8. ПОДВИЖНОСТЬ НОСИТЕЛЕЙ

Удельная проводимость любого тела зависит не только от концентрации носителей, но и от их подвижности в электрическом поле. Подвижность носителей, по определению, есть их средняя направленная скорость в электрическом поле с напряженностью 1 В/см. Соответственно дрейфовую скорость можно записать в виде

Постоянство дрейфовой скорости носителей в однородном поле {Е == const) специфично для твердого тела, где имеются различные препятствия движению. В вакууме, где таких препятствий нет, движение заряженных частиц в однородном поле равноускоренное, т. е. понятие дрейфовой скорости отсутствует. Направленное движение носителей в твердом теле под действием поля сочетается с их хаотическим (тепловым) движением. Последнее характер и-

Отрицательно заряженные электроны, которые двигаются против поля, можно представить себе на диаграмме в виде тяжелых шариков, скатывающихся по наклонному дну зону проводимости. Положительно заряженные дырки которые двигаются по полю, можно представить себе как легкие пузырьки, всплывающие)? по наклонному потолку жидкой валентной зоны.