Что касается величины Сод. то для ее определения нужно быто бы проинтегрировать по координате у функцию qN% (у), где N1 - концентрация обнаженных донорных ионов. Такая задача, как уже отмечалось в § 1-12, весьма сложна в математическом отношении. Поэтому воспользуемся аппроксимацией, которая использовалась при анализе ступенчатого р-п перехода в гл. 2, а именно, положим N1 = = const, считая, что п о д в и ж н ы е носители в обедненном слое полностью отсутствуют. Тогда по аналогии с (1-906) получаем для толщины обедненного слоя:

-,/ 2eo8 t/ V qn,

Искомую величину найдем, умножая толщину I на объемную плотность заряда qN,:

Qo, = qNJ = a\ru;, (5-49)

где

а ==!/ 2еое Л/д; (5-50)

- относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Подставляя в (5-46) заряд Qop, выраженный с помощью (5-47) через три других заряда, используя соотношения (5-48) и (5-49) и заменяя Ех на -dUJdx, получаем следующее дифференциальное уравнение :

hV.ZcJUg-UoP-Ux-~Vlh), (5-51)

Со = (5-52)

- удельная емкость затвора относительно поверхности полупро-во,а,ника;

о/=%- + Фм5 (5-53)

- напряжение спрямления зон (с. 70), т. е. то напряжение на затворе, которое меняет потенциал поверхности на величину фо, обеспечивая значение Ф5 ~ О (см. рис. 5-24, а).

(когда нет тока и напряжение подается только на затвор), а о неравновесном состоянии, когда ифО) та протекает ток.

Использование разности - вместо объясняется тем, что нулевой заряд на затворе получается при условии [/3 = 9,5 (см. рис. 5-30, б); следовательно отрицательные заряды, характерные для рабочего режима транзистора, соответствуют не полному потенциалу U, а разности

Знак минус в правой части (5-51) опущен, так как под Ux понимается модуль отрицательного потенциала поверхности.

Например, если диэлектриком является двуокись кремния = 3,5), то при толщине d = 0,1 мкм, контактной разности потенциалов фмз = 0,3 В и плотности поверхностных состояний 2 -10 см- (т. е. Qon с 3 lO * Кл/см) получаем: Со ~ 3 Ю * Ф/см (30 000 пФ/см) и и OF ~ 1,3 В.

Умножив обе части уравнения (5-51) на dx и проинтегрировав левую часть в пределах от О до L, а правую - от ф (см. рис. 5-26, б) до sm + с. найдем искомую вольт-амперную характеристику:

/е = Ь {(t/з - UoP- Ф.т) f/c - 4 Ш - 4 ; f(Ф.т + f/c)3/2 - фз/f j .

(5-54)

Параметр Ъ, определяющий масштаб характеристики, называется удельной крутизной и имеет значение

Ь=Ь?£о в, (5.55)

При типичных параметрах р, == 200 смВ-с, Со = З-Ю * Ф/см (см. выше) и Z/L = 10 получаем Ь = 60 мкА/В.

Выражение (5-54) неудобно для инженерных расчетов из-за наличия членов в степени 3/2, однако из этого выражения можно сделать полезные выводы.

Прежде всего определим пороговое напряжение МДП транзистора (см. с. 296), при котором образуется дырочный канал. Для этого сначала найдем из (5-54) проводимость канала dlJdU; затем подставим f/c = 0> что соответствует отсутствию тока, т. е. одинаковой толщине канала вдоль оси х; наконец, положим dlJdU = = =0 - условие, означающее исчезновение проводящего канала. Из этого условия нетрудно получить пороговое напряжение на затворе; запишем его в следующем виде:

f/o = f/oF+f/oB- (5-56)

Здесь UoB - составляющая порогового напряжения, соответствующая значению ф = ф, т. е. обеспечивающая искривлен ие зон вверх , достаточное для образования канала:

/ов=-]/ ф + ф5т- (5-57)

Назовем величину (7ов в отличие от VoP напряжением изгиба

зон.

Величина f/ов определяет минимальное значение порогового напряжения, когда отсутствуют такие привходящие факторы, как поверхностные состояния в полупроводнике и ионы

По ряду причин, обусловленньк влиянием границы раздела, приповерхностная подвижность носителей в формуле (5-55) обычно в 2-3 раза меньше объемной.

в диэлектрике, т. е. когда Ugp - 0. Например, для кремниевого МДП транзистора при концентрации доноров Л/д = 10* 10 см~* коэффициент а согласно (5-50) составляет (2-6)-10 ** В/ Ф/см, а потенциал Ферми ц)р согласно (1-21в) - около 0,3 В. Тогда при Со = 3 10 ** Ф/см и (psm = 2ц>р (см. с. 296) напряжение f/ов лежит в пределах 1-2 В.

Полное пороговое напряжение Uq, определяемое формулой (5-56), у современных МДП транзисторов обычно составляет 2,5-4В.

Из выражения (5-54) следует, что функция (U) имеет максимум при некотором напряжении f/c. , которое можно найти путем дифференцирования. Правее максимума ток согласно (5-54) должен был бы уменьшаться. На самом деле он сохраняет максимальное значение, так как при условии 11 > f/c.n качественно меняется механизм работы МДП транзистора (см. предыдущий раздел) и выражение (5-54) теряет силу. Следовательно, выражение (5-54) описывает только начальные (крутые) участки вольт-амперных характеристик (см. рис. 5-28, а), где ток зависит от о б о и х напряжений f/з и f/c. В режиме насыщения (на пологих участках) ток практически зависит только от напряжения 11, а влияние напряжения f/c нуждается в специальном анализе (см. ниже).

В заключение отметим, что в л-канальных транзисторах с подложкой р-типа начальный обогащенный слой тоже электронный (см. сноску иа с. 295); поэтому напряжение плоских зон ирбудег по-прежнему отрицательным , тог.ча как напряжение изгиба зон положительно. Если lUpl > то < О, т. е. транзистор будет иметь канал даже при t/s= О и, следовательно, будет аналогичен МДП транзистору со встроенным каналом, хотя технологически такой канал не предусмотрен (об этой трудности уже упоминалось в сноске на с. 296). При условии \ир\ < обеспечивается индуцированный канал, причем пороговое напряжение Uo будет меньще, чем у р-канальных транзисторов. Однако воспро нзводимость величины Uq обычно хуже из-за разброса напряжения Up, обусловленного трудно контролируемыми факторами.

Характеристики и параметры в 1-м приближении. Рассмотрим самую простую аппроксимацию выражения (5-54), которой удобно пользоваться при инженерных расчетах. Заменим сумму Uop + (Psm на полное пороговое напряжение U, а членами с коэффициентом а/Со пренебрежем. Тогда

{U,-Uo}U,-iui]. (5-58)

Такая аппроксимация всегда действительна при малых стоковых напряжениях {11 < Ът)- В этом легко убедиться, разлагая функцию {(psm + UY в ряд Маклорсна с точностью до двух первых членов, подставляя их в выражение (5-54) и учитывая (5-57) и (5-56). При значениях 11 > (Psm аппроксимация (5-58) действительна лишь в случае достаточно малых значений. а/Со, т- е. в случае

* Напомним, что применительно к р-канальным транзисторам мы пользуемся модулями зарядов и напряжений. На самом деле напряжение Uo и его компоненты в формуле (5-56) имеют отрицательные значения.