Подставив сюда (1-2а) и (1-66), после преобразований получим: p = N (1-76)

/2ят \з/2

\ J \т/

- эффективная плотность состояний в валентной зоне (на 1 см).

Из (1-76) следует, что N. есть максимально возможная концентрация дырок в невырожденном полупроводнике, получающаяся при условии ф/? -> ф. . По физическому смыслу N. близка к плотности энергетических уровней в валентной зоне (на 1 см) в полосе энергий от ф. до фв - фг-

Поскольку энергетические зоны, как правило, имеют несколько экстремумов (см. рис. 1-11), то эффективные плотности состояний, как показывает теория, больше приведенных значений: последние следует умножить на число экстремумов. Так, для кремния и германия, у которых имеется соответственно 6 и 4 минимумов в зоне проводимости и один максимум в валентной зоне, получаем данные, приведенные в табл. 1-1.

Заметим, что интегрирование до ф = + оо в случае электронов и до ф = - оо в случае дырок приближенно, поскольку функция (1-2а) действительна только вблизи границ обеих зон. Однако результат получается правильным, так как функции Fn и Fp очень быстро убывают с удалением от зонных границ. Например, на расстояниях (4-5) фг от границы, когда распределение (1-2а) еще соблюдается, функции F составляют всего около 1 % их граничных значений. Заметим еще, что эффективные плотности Nc и различаются, но не сильно (для кремния и германия Nc/No = 2,8 и 1,7 соответственно). Поэтому иногда полагают N = N.

Наконец, заметим, что экспоненциальные множители в формулах (1-7) по существу являются вероятностями нахождения электронов или дырок в соответствующей зоне, так как величины n/Nc и р /N. суть отношения фактических концентраций к максимально возможным.

Легко убедиться, что произведение концентраций пр не зависит от положения уровня Ферми и определяется только температурой и шириной запрещенной зоны:

пр = N,N6 0,25 102 () Ге~з/ г, (1-8)

где Фз = фс - фщ - ширина запрещенной зоны.

Значение фз несколько уменьшается при увеличении температуры с температурной чувствительностью З-Ю * и 4-10 * В/°С соответственно для кремния и германия [10].

Из формул (1-7) легко получить отношение концентраций следующем виде:

- потенциал середины запрещенной зоны, который иногда называют электростатическим потенциалом полупроводника [2].

1-6. УРОВЕНЬ ФЕРМИ

Уровень Ферми, как мы убедились, играет важную роль в теории полупроводников, а значит, и полупроводниковых приборов. Поэтому имеет смысл уточнить это понятие. Уровень Ферми выше считался известным, с его помощью вычислялись концентрации свободных носителей. На самом же деле уровень Ферми является функцией этих концентраций, а концентрации предварительно оцениваются из тех или иных соображений (см. § 1-7).

Величина ц>р определяется теми интегралами, из которых получены выражения (1-7)..Используя (1-26) и (1-5), эти интегралы легко привести к виду

со

где для электронов

г] = (ф - ф,)/ф7-; х = ф - Фс; v = n/Nc,

а для дырок

lip = (фи - Ф)/Фг; %р = Фг. -Фл Vp=p/v.

Величину X, определяемую интегральным уравнением (1-10), в статистической физике называют химическим потенциалом [5, 9]. Физический смысл этой величины состоит в следующем. Химический потенциал является однозначной функцией концентрации соответствующих частиц. Поэтому наличие разности химических потенциалов означает наличие разности концентраций, а разность концентраций, естественно, вызывает перемещение - диффузию частиц в направлении от большей концентрации к меньшей. Таким образом, химический потенциал характеризует возможность диффузии свободных частиц (заряженных или незаряженных) подобно тому как электрический потенциал характеризует возможность дрейфа свободных частиц (если они являются носителями заряда) .

В физике полупроводников дрейфом называют движение заряженных частиц в электрическом поле.

Учитывая приведенные выражения для и Хр. приходим к выводу, что потенциал Ферми, отсчитанный от границы той или иной зоны (т. е. без учета потенциальной энергии), есть химический потенциал соответствующих носителей. В общем же виде потенциал Ферми есть алгебраическая сумма электрического и химического потенциалов:

Чр=Фс + Хп; (1-11а)

ф=ф-Хр. (1-116)

Отсюда следует еще одно название величины - электрохимический потенциал. Градиент потенциала Ферми, будучи суммой градиентов электрического и химического потенциалов, позволяет одновременно характеризовать оба типа движения носителей - диффузию и дрейф. Как следствие в условиях равновесия, когда направленного движения носителей нет, должно иметь место условие grad ф/г = О, т. е.

Ф/7= const.

Постоянство ( горизонтальность ) уровня Ферми в равновесной системе является одним из фундаментальных соотношений теории твердого тела. Заметим, что условие ф/г = const не означает постоянства каждого из слагаемых ФсИХге или Фщ и Хр- Иначе говоря, в равновесной системе могут иметь место градиенты электрического и химического потенциалов и соответственно дрейфовые и диффузионные потоки носителей, но эти потоки должны взаимно уравновешиваться (больцмановское равновесие).

Чтобы выразить химические потенциалы Хи и Хр. а вместе с ними и потенциал Ферми через концентрации пир, нужно решить интегральное уравнение (1-10). В общем виде интеграл в левой части не берется, однако в двух важных частных случаях получаются простые решения [5, 7].

1. Положим х< О и 1x1 Фг- Тогда, пренебрегая единицей в знаменателе подынтегрального выражения, легко получаем простое уравнение

e-v,

решениями которого будут химические потенциалы

Х = Фг1п j:

Хр = Фг1Пг.

Учитывая исходные предпосылки относительно х. приходим к выводу, что полученные решения справедливы при условии V < 1 (практически при v 1). Полупроводники, у которых выполняется это условие, т. е. концентрация свободных носите-, лей меньше эффективной плотности состояний в разрешенной

(1-12)