где индексы v и s соответствуют величинам, связанным с объемом и поверхностью.

В общем виде установить связь между скоростью поверхностной рекомбинации S и поверхностным временем жизни трудно [21]. Эта задача решается сравнительно просто лишь для двух частных, но важных вариантов геометрии образца, к которым и стараются свести реальные варианты при практических расчетах полупроводниковых приборов.

Первый вариант - брусок, у которого размеры по осям х и у конечны и равны о и 6, а протяженность по оси z бесконечная. Неравновесная концентрация носителей внутри кристалла считается одинаковой по всей оси г. Тогда, как показано в работе [2],

гдеО - коэффициент диффузии носителей (см. § 1-11), а величины т) определяются трансцендентными уравнениями:

(1-67)

Если скорость поверхностной рекомбинации S или размеры а и 6 достаточно малы, так что Sa/2D < 0,5 и Sb/2D < 0,5, то можно считать tg т) = tj и тогда

Если, наоборот, значения S, а и 6 достаточно велики, так что Sa/2D > 5 и Sb/2D > 5, то можно считать т) = п/2 и тогда

в последнем случае поверхностное время жизни не зависит от скорости поверхностной рекомбинации и определяется только размерами и материалом образца.

Второй вариант - тонкая пластинка, у которой толщина по оси х равна а, а размеры по осям у к z бесконечны. Этот вариант можно рассматривать как частный случай бруска при b = оо или же анализировать самостоятельно [17]. В результате в общем виде получается:

а в частных случаях

если -g-0,5 (1-70а)

1 пЮ Sa

- если5. (1-706)

Формулами (1-69) и (1-70) часто пользуются для расчета значений S по измеренным значениям т и т. (из которых легко получить т,) и известным а и D:

Если, например, а - 0,01 см; Л = 90 см/с; = 100 мкс и т = 10 мкс, то Tj л; 10 мкс и S W 500 см/с.

На рис. 1-27 приведены зависимости S от некоторых физических параметров. Эти зависимости можно объяснить, руководствуясь

теми же соображениями.

1000

101010 1 10 а)

1010 -ВО-ЧО-20 О б)

20 С

Рис. 1-27. Зависимость скорости поверхностной рекомбинации от концентрации донорных и акцепторных примесей (а) и от температуры (б).

что И при анализе аналогичных зависимостей объемного времени жизни в предыдущем разделе. Обратный характер функций S{N) я S (Т) по сравнению с функциями т (Л/) и т (Т) обусловлен тем, что по определению скорость поверхностной рекомбинации прямо пропорциональна, тогда как время жизни обратно пропорционально скорости накопления V [см. (1-б0а) и (1-65)1. Естественно, что скорость поверхностной рекомбинации существенно зависит от способа и качества обработки поверхности кристалла.

1-11. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

В общем случае движение носителей заряда в полупроводниках обусловлено двумя процессами: диффузией под действием градиента концентрации и дрейфом под действием градиента потенциала в электрическом поле. Поскольку в полупроводниках мы имеем дело с двумя типами носителей - дырками и электронами, полный ток состоит из четырех составляющих :

/ = (/р)диф + {/р)др + (/ )диф + (Ь)др. (1-71)

где индексы диф и др относятся соответственно к диффузионной идрейфовой составляющим токов.

Плотности дрейфовых составляющих тока пропорциональны градиенту электрического потенциала ф, т. е. напряженности электрического поля Е. В одномерном случае, когда движение носителей происходит только вдоль оси X, без отклонения в стороны, имеем:

(/р)др -

Wpgf = OTp; (/ ) др = - дпцп = дпцпЕ.

(1-72а) (1-726)

1 При анализе обычно удобнее пользоваться не токами /, а плотностями токов /, что и сделано в формуле (1-71). Там, где это не вызывает недоразумений, будем для краткости называть величину ; током.

Следует заметить, что в обычном соотношении Е = -d(p/dx, использованном в формулах (1-72), потенциал ф относится к п о л о-жительным зарядам, тогда как на зонных диаграммах величина ф характеризует энергию отрицательных зарядов - электронов. Поэтому для зонных диаграмм действительно соотношение Е = dffldx, т. е. положительной напряженности поля соответствует положительный градиент энергетических уровней.

Плотности диффузионных составляющих тока пропорциональны градиентам химических потенциалов Хп и Хр, которые для невырожденных полупроводников выражаются формулами (1-12). Поэтому в одномерном случае имеем h

dXp dp

(/р)диФ = - QPlp -й - Яр-- (1 -73а)

(/ )диФ = № = ? £. (1-736)

Здесь Dp, Dn - коэффициенты диффузии дырок и электронов, связанные с подвижностями тех же носителей формулой Эйнштейна

D = 9rfi. (1-74)

Зависимость коэффициентов диффузии от температуры легко получается с помощью (1-3) и (1-32):

0 = Оо[Щ\ - . (1-7Ба)

Зависимость коэффициентов диффузии от концентрации примесей определяется формулой (1-ЗЗа), если заменить на D:

Оофу. (1.756)

Из выражений (1-73) следует, что в невырожденных полупроводниках, для которых действительны использованные значения химических потенциалов, диффузионные токи пропорциональны градиенту концентраций носителей, а коэффициенты диффузии не зависят от этих концентраций.

Подставляя (1-72) и (1-73) в формулу (1-71), получаем плотность полного тока:

/ = - qDp I + qpiipE + qD £ + qnnE. (1-76)

Как видим, для определения тока необходимо знать концентрации носителей и напряженность поля. В общем случае концентрации р и п зависят от двух переменных: координаты х и времени t. Поэтому для определения токов нужно предварительно найти

Знак минус в формуле (1-73а) имеет следующий физический смысл: диффузия всегда, происходит в направлении убывания концентрации, а поскольку дырки несут положительный заряд, ток (/р)диф должен быть .положительным при dpidx < С.