функции р (х, f) w п (х, f). Эти функции являются решениями так называемых уравнений непрерывности потока, которым в любой момент времени подчиняется движение носителей.

Для дырок и электронов уравнения непрерывности записы-

ваются в следующем виде :

% = Sp--~diyilp); (1-77а)

g = ДЯ - -f I div (/ ), (1-776)

где р - Ро = Др - По= An - избыточные концентрации [см. (1-48)1; Agp и Ag - скорости генерации под действием внешних факторов, например света [скорости генерации под действием внутренних факторов - фононов - учтены членами Ро/Тр и По/г , см. (1-43)1.

Слагаемые в правых частях (1-77) соответствуют возможным причинам изменения концентрации носителей во времени. В частности, последние слагаемые можно рассматривать как скорости накопления или рассасывания носителей, обусловленные неравенством потоков, втекающих и вытекающих из некоторого элементарного объема. Такой небаланс потоков характеризуется дивергенцией вектора плотности потока. В нашем случае плотность потока есть j/q. Дивергенция этого вектора в одномерном случае равна:

Подставляя сюда соотношения (1-72) и (1-73), получаем:

i-div(/p) = -D,g + H.ft + w4;

div(/ )=D S + H.£ + nH g.

С учетом этих выражений, а также при отсутствии внешних факторов (свет, радиация и т. п.) уравнения непрерывности (1-77) принимают следующую форму:

В том случае, когда поле отсутствует или когда его ролью заведомо можно пренебречь, полагаем Е = 0. При этом выражения

Легко заметить, что уравнения непрерывности являются развитием уравнений накопления и рассасывания (1-47). Последние рассматривают явления только во времени для заданной точки, тогда как первые благодаря наличию члена div / рассматривают явления и во времени, и в пространстве и потому являются уравнениями в частных производных [см. (1-78) и (1-79)].

(1-78) упрощаются и носят название уравнений диффузии:

Уравнения (1-79) позволяют достаточно строго анализировать многие типы полупроводниковых приборов. В тех случаях, когда полем пренебречь, нельзя, пользуются полными уравнениями (1-78). Если напряженность Е меняется вдоль оси х (т. е. если в полупроводнике имеется существенный объемный заряд), приходится дополнительно привлекать уравнение Пуассона, которое в одномерном случае имеет вид:

f = г. (-8 )

где к - плотность заряда \ Eq - электрическая постоянная (табл. 1-2), е - относительная диэлектрическая проницаемость. В общем случае

%q(p.Nl-n-Nl). (1-81а)

Поскольку в условиях нейтральности Я, = О, можно считать, что объемный заряд есть следствие приращения концентраций в правой части (1-81а). Если степень ионизации примесей неизменна (т. е. Лд,а = const), то

k==q{Ap-An). (1-816)

Решение системы уравнений (1-78) и (1-80) в общем виде невозможно. В каждом конкретном случае приходится вводить те или иные упрощения. В следующих параграфах рассматривается несколько примеров таких упрощенных решений, которые одновременно позволят ознакомиться еще с некоторыми важными свойствами и параметрами полупроводников.

1-12. ОБЪЕМНЫЕ ЗАРЯДЫ И НОЛЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Диэлектрическая релаксация. Пусть в ограниченном объеме полупроводника удалось сосредоточить избыточные концентрации электронов и дырок, так что образовался объемный заряд с плотностью к. Под действием возникшего поля заряд будет рассасываться, т. е. носители будут покидать тот начальный объем, в котором они были сосредоточены. Такое рассасывание заряда под действием собственного поля носит название диэлектринеской релаксации, или релаксации Максвелла.

В электродинамике плотность заряда обычно обозначают через р. В полупроводниковой технике такое обозначение нежелательно, так как оно принято для удельного сопротивления.

При анализе диэлектрической релаксации пренебрегают рекомбинацией носителей и их диффузией, чтобы выделить явление в чистом виде. Следовательно, в правых частях (1-78) можно опустить все члены, кроме последних:

др дЕ дп дЕ

Ъ{ - Р дх- -dt--dJ-

Вычитая второе уравнение из первого, подставляя dEldx из (1-80), А, из (1-816) и учитывая (1-35), получаем уравнение релаксации :

(1-82)

Решением является экспоненциальная функция

Ар - Дп = [Др (0) - An (0)] е-/е, (1-83)

где [Ар (0) - An (0)] - начальная избыточная концентрация и

Tg = £oe/o (1-84)

- время диэлектрической релаксации.

Величина Tg характеризует время, в течение которого нарушена нейтральность полупроводника: через (Зч-4) Tg объемный заряд практически рассасывается и нейтральность восстанавливается.

Как видно из (1-84), время релаксации помимо диэлектрической проницаемости зависит от удельной проводимости или удельного сопротивления. Например, если р = 1 Ом-см, то для германия и кремния Tg 10-12 Такое крайне малое значение типично для процессов диэлектрической релаксации и является одной из основ квазинейтральности полупроводников (см. конец с. 31).

С ростом удельного сопротивления время релаксации увеличивается и у собственных полупроводников (особенно кремния) должно, казалось бы, достигать сравнительно больших значений. Следует, однако, иметь в виду, что наличие избыточных электронов и дырок в возмущенном объеме приводит к уменьшению удельного сопротивления на этом участке и, следовательно, согласно (1-84) способствует уменьшению времени релаксации. Поэтому даже в собственных полупроводниках при сколько-нибудь значительных возмущениях значение Tg обычно имеет порядок 10 с.

Изменение удельного сопротивления полупроводника на том участке, где по тем или иным причинам скапливаются избыточные носители, носит название эффекта модуляции проводимости. Этот эффект играет значительную роль в полупроводниковых приборах, особенно при больших сигналах (см., например, § 2-8).

Обычно в литературе структуру объемного заряда не расшифровывают, а записывают уравнение ( -82) в виде

. f =-dlv£=-p. . :

где р - плотность о&ьемного заряда.