Выражения (1-46) позволяют записать скорость генерации в виде

Таким образом, сущность вероятностного метода сводится к следующему: скорость рекомбинации записывается как произведение концентрации реком-бинирующих носителей на вероятность наличия другого типа носителей в соответствующей зоне; коэффициент пропорциональности CJ равен вероятности рекомбинации (в единицу времени), когда условия рекомбинации оптимальны, т. е. когда верхняя часть валентной зоны пуста (в случае рекомбинации электронов), либо когда нижняя часть зоны проводимости полностью заполнена (в случае рекомбинации дырок). Аналогично записываются скорости генерации носителей. Обе скорости можно приравнять и установить связь между коэффициентами пропорциональности.

Неравновесное состояние. В неравновесном состоянии, когда скорости генерации и рекомбинации неодинаковы, происходит накопление (или рассасывание) неравновесных носителей со скоростью, определяемой разностью g-R:

-t=gn-r(np); (1-47а)

ft=g -r{np). (1-476)

Неравновесные концентрации пир можно представить в виде = 0-1-Д ;

р = Ро + Др,

(1-48)

где Ди, Др - избыточные концентрации. Знак приращений Дп и Др соответствует знаку приращения скорости генерации, если эту скорость представить в виде

= о + Д. (1-49)

Сохранение нейтральности полупроводника (см. § 1-7) предполагает равенство избыточных концентраций и их производных:

Д/г = Др; (1-50а)

Условие (1-506) сразу приводит к выводу, что в формулах (1-47) должно иметь место равенство g = gp, т. е. скорости генерации электронов и дырок одинаковы Соответственно уравнения (1-47а) и (1-476) оказываются идентичными и не имеет смысла анализировать раздельно поведение избыточных электронов и дырок, так как функции Дп (О и Др (О должны совпадать. Поэтому ниже рассматривается только поведение электронов.

Подставим в (1-47а) выражения (1-48) и (1-49), учтем (1-40) и согласно (1-50а) заменим Др на Дп. Далее положим Дп По -f- Ро (чтобы избежать нелинейности уравнения) и выразим концентрации Ро и Пц через времена жизни т и Тр с помощью (1-41). После этого

уравнение {1-47а) можно привести к виду

Если полон<ить Ag = О, получится частный случай, который называется уравнением рассасывания носителей:

d (An) An

dt т

(1-516)

В уравнениях (1-51) через т обозначено неравновесное время жизни избыточных носителей:

T=fi- + -!-r = -; (1-52)

в условиях нейтральности неравновесное время жизни одинаково для электронов и дырок. Очевидно, что т ближе к меньшему из двух равновесных времен жизни т и Тр. Например, для электронного полупроводника, у которого о > Ро и т Тр [см. (1-41)], получаем тякТр; для дырочного полупроводника, наоборот, т т . Иначе говоря, изменение избыточных концентраций происходит с постоянной времени, близкой к равновесному времени жизни неосновных носителей.

Если Ag- = const (ступенчатое изменение скорости g), то решением уравнения (1-51а) будет экспоненциальная функция

n(t)=gx+[nф)-gx\e (1-53а)

где An (0) - начальное значение избыточной концентрации.

Решением уравнения рассасывания (1-516) также является эспоненциальная функция

A.i(0= A.i(0)e (1-536)

Уравнение рассасывания и его решение лежат в основе измерений времени жизни [18]. Так, из (1-516) получается общее определение:

где в правой части стоят мгновенные значения величин. Однако практически удобнее измерять значение An в разные моменты времени и t; тогда из (1-536) следует:

Дп (4)

Рекомбинация на ловушках. При ловушечном механизме рекомбинации (см. рис. 1-23) уравнения (1-51) и (1-53) остаются в силе,

но время жизни т имеет другой вид. Анализ ловушечной рекомбинации удобно провести вероятностным методом ,- т. е. с помощью выра5кений типа (1-44) и (1-45).

Будем считать, что концентрация ловушек Nt мала по сравнению с концентрацией примесей а их энергетические уровни одинаковы и характеризуются потенциалом ф;. Вероятность заполнения уровня ф< определяется формулой (1-26) при ф = ф/, т. е. имеет вид 2:

. -fl

Согласно рис. 1-23 уровни ловушек в процессе рекомбинации играют роль валентной зоны по отношению к зоне проводимости и роль зоны проводимости по отношениюк валентной зоне. Поэтому в формулах (1-44) естественно заменить Fnv и Fnc на Ft, а и N,. (в выражениях для Сд) на Nt- В процессе генерации совокупность занятых ловушечных уровней играет роль валентной зоны по отношению к зоне проводимости, а совокупность пустых ловушечных уровней - роль зоны проводимости по отношению к валентной зоне. Поэтому в формулах (1-45) заменим плотность на NtFt, а плотность ш Nt{\ - Ft).

С учетом сделанных замен скорости накопления (1-47) будут выражаться следующим образом:

g = CngNtFt - Спцп {l-FtY, (1 -56а)

%=Cp,Nt{\-Ft)-CppFt, - (1-566)

где С ц = r Nt и Ср = tpNt.

Рассматривая стационарный режим (dn/dt = 0; dp/dt = = 0; n = Пор = Ро), используя для По и ро выражения (1-7) и под-

получить соотношения

ставляя (1-55), можно из (1-56

г -Г -t Г -Г

(1-57а)

по форме такие же, как при непосредственной рекомбинации (1-46а). Однако в отличие от концентраций п и р концентрации щ и pt

В том случае, когда концентрация Nt сравнима с концентрацией примесных атомов или больше ее, становится недействительным условие (1-50а), так как ловушки при этом не только играют роль цевтров рекомбинации, но и вносят заметный вклад в общее число свободных носителей наряду с основной примесью ([10], с. 288). Индекс - от слова trap (ловушка).

Приближение (1-6а) для функции Ft неправомерно, так как уровни р/ и фг часто близки друг к другу и даже совпадают.