Следовательно, при экспоненциальном распределении носителей их диффузионная скорость является постоянной величиной. Исходя из выражения (1-115), можно дать еще одно определение величины L: диффузионная длина есть то среднее расстояние, которое носители в процессе диффузии проходят за время зюизни.

Если подставить dpIdx из (1-П4а) в (1-73а), получим выражение для диффузионной составляющей дырочного тока. Запишем ее в следующем виде:

(/р)я.,Ф W = (/р)д Ф (0) e~ P, (1-П6а)

где граничное значение в точке л; = О

(/р)диФ (0)=- qDp (1-Ибб)

Заметим, что это граничное значение совпадает с полным током:

(/р)диф(0) = /. (1-U7)

поскольку при х = о электронный ток отсутствует (см. начало данного раздела, п. 3), а дрейфовой составляющей дырочного тока мы пренебрегли с самого начала, приняв диффузионЕое приближение .

Подставляя dp/dx из (1-П4а) в (1-108) и учитывая выражения (1-113), (1-1166) и (1-117), получаем напряженность того поля, которым пренебрегли при решении уравнения непрерывности. Если использовать обозначение (1-31), то

E{x) = [l + {b-l)e- p]. (1-118)

Граничные значения поля:

£(0) = 6( а); E(aD) = j/a.

Напряженность дембеоовской составляющей поля определяется вторым слагаемым в формуле (1-118):

£дс б = -(&-1)е~, (1-119)

граничные значения этой составляющей имеют вид:

£демб(0) = (6-1)( о); £де бМ = 0.

Распределение потенциала при монополярной диффузии несколько отличается от распределения при биполярной диффузии из-за различия полей. В частности, на расстоянии (2 3) L от плоскости инжекции, т. е. в области квазиравновесия, потенциал меняется почти линейно (ср. с рис. 1-17, б). Квазиуровни Ферми, определяемые избыточными концентрациями, меняются практически так же, как при биполярной диффузии.

Нестационарное уравнение (1-110а) может быть решено разными способами. В инженерной практике наиболее распространен операторный метод (см. [22]). Как известно, при этом методе функция времени, в нашем случае Ар (х, t), заменяется ее операторным изображением Ар (х, s), а производная по времени - произведением

s[Ap(x, S)-Ар(д;)/.о]. (1-120)

Здесь и ниже оператор Лапласа обозначается через s, а не через р (как обычно) во избежание путаницы с обозначением концентрации дырок.

уравнение

После этого при решении диффузионного уравнения оператор у)ассматривается как алгебраический множитель, а найденное решение типа (1-П2) оказывается изобраоюепием искомой функции Др (х, t). Эта функция {оригинал изображения) в большинстве случаев может быть найдена по таблицам соответствия. Полагая начальное состояние равновесным, т. е.

= О, нетрудно привести (1-ПОа) к виду

0-12.)

Как видим, отличие этой формулы от (1-ПОб) состоит только в том, что диффузионная длина должна рассматриваться как операторная величина

L(s) = -7L=. (1-122)

Оригинал изображения L (s) имеет вид (рис. 1-33):

) = Lerf(l),

L{t)-

(1-123)

c.i 1,г 1,6 2,0

Рис. 1-33. Зависимость диффу-зкониой длины от времени [функция ошибок erf (ih)].

где erf (t/x) - функция ошибок *. Необходимо заметить, что определение диффузионной длины (см. выше) связано с экспоненциальным распределением носителей, тогда как во время переходного процесса (особенно в его начальной части) распределение неэкспоненциальное. Поэтому выражение L (t) нельзя механически подставлять вместо X в готовые формулы (1-112) и (1-113). Тем ие менее, рассматривая диффузионную длину как функцию времени, можно делать полезные качественные выводы о характере переходных процессов.

Учитывая структурное сходство уравнений (1-121) и (1-1106), приходим к выводу, что решения (1-112) и (1-113) остаются в силе, если заменить Lp на Lp (s). Граничные условия для определения коэффициентов Ai и используются так же, как в стационарном случае. В результате получается изображение Др (х, s), по которому с помощью таблиц можно найти оригинал Ар (х, i). Такой оригинал будет рассмотрен в § 2-9 в связи с переходным процессом в диоде.

Функция ошибок erf (г) (ее же называют интегралом ошибок или функцией Крампа) определяется следующим образом [23]:

erf(.) = 5

Согласно рис. 1-33 функция erf (г) в общем напоминает экспоненциальную функцию 1-е-; в частности, erf (0) = О и erf (оо) = 1. Прои.ч-водиая от erf (г) имеет вид (2/[Ал) е . Дотлнительной фткцией ошибок называют функцию cerf (z) = 1 - erf (г), которая напоминает экспоненту е. Производная функции cerf (г) отличается от производной функции erf (г) только знаком.

Весь материал данного раздела непосредственно относился к случаю инжекции, когда Ар > 0. Однако с математической точки зрения анализ остается в силе и для случая экстракции, когда Ар < 0. Нужно лишь иметь в виду следующие физические особенности, свойственные режиму экстракции.

1, Концентрации носителей в приповерхностном слое оказываются меньше равновесных; соответственно меняются знак объемного заряда, направление полей, а также направления потоков носителей.

2. Поскольку полная концентрация дырок р не может быть отрицательной, то модуль отрицательной избыточной концентрации всегда меньше равновесной концентрации: I Ар I < р. Отсюда следует, что в режиме экстракции возмущения всегда малы; соответственно малы плотности токов (токи).

Комбинированное движение. В последних двух разделах дрейф п диффузия носителей рассматривались раздельно: в первом случае считалось, что нет инжекции, во втором - поле считалось пренебрежимо малым.

Проанализируем диффузию в условиях существенного электрического поля; для простоты положим напряженность поля постоянной . Такой случай имеет, например, место при инжекции в неоднородный полупроводник с экспоненциальным распре;]еле-нием примеси (1-93). Будем, как и раньше, рассматривать инжек-цию дыро!{ в электронный полупроводник. Тогда в уравнении (1-102) следует положить D = Dp, =.-р-р, а также Ag = 0. Ограничиваясь стационарным режимом (dp/at == 0), поделим обе части уравнения на Dp и запишем его в следующей форме:

dAp ЦрЕ dAp Др

dx Dp dx Lp

Величина р,р E/Dp имеет размерность 1/см, поэтому ее можно представить как 2i]/Lp, где безразмерный коэффициент т) с учетом (1-115) характеризует соотношение дрейфовой и диффузионной скоростей, а с учетом (1-74) - относительную роль напряженности поля 2;

Обычно величину г) называют коэффициентом тля. С использованием коэффициента поля уравнение непрерывности запишется в виле

</Ар 2т]£гДр Ард (1-125)

Л2 La dx Ll

В противном случае, как уже отмечалось, задача делается нелинейной.

Величина (fJL, будучи умножена на подвижность [л, дает диффузионную скорость (1-115). Поэтому ф./Х- можно назвать диффузионной напряженностью поля. -