Необходимые и достаточные условия расположения всех собственных чисел матрицы А в заданной области D комплексной плоскости А имеют вид

lim В* =0, (6.8)

где В - один из видов функционально-преобразованных матриц.

Выполнение условия (6.8) можно проверить по нормам и модулю следа матрицы В, величине наибольшего по модулю собственного числа шах рг, а также другим неравенствам, известным в высшей алгебре.

Рассмотрим способ анализа устойчивости линейных систем по уравнениям переменных состояния без построения характеристического полинома. В теории аналитических функций широко известно дробно-линейное преобразование

S = (Р + i)/(P - 1). (6.9)

Оно обладает тем свойством, что левая полуплоскость комплексного переменного s переводится им во внутренность единичного круга с центром в начале координат плоскости комплексного переменного р, при этом мнимая ось, рассматриваемая как окружность бесконечного радиуса, переходит в единичную окружность. Если комплексная переменная s перемещается вдоль мнимой оси, то комплексная переменная р движется вдоль окружности единичного радиуса. Каждой точке левой полуплоскости соответствует вполне определенная точка, принадлежащая внутренности единичного круга, и наоборот, т. е. это соответствие взаимно однозначно: р = (s + + l)/(s~l).

Подставим значение s из (6.9). в характеристическое уравнение (6.4), тогда

р-1 , . .

После некоторых преобразований получим

( Е-А)-р(Е-А)=0. (6.Ю)

Умножим уравнение (6.10) на. (Е- А)- :

ц Е-А)(Е-А)-1-рЕ1=0. (6.II)

Матрицу (-Е - А) (Е- А)- можно преобразовать:

( Е А + Е~Е)(Е-А)-1 - 1(Е - А) -2Ej (IE-A)-i =

= Е-2(Е-А)-\

Характеристическое уравнение относительно новой переменной р будет иметь вид

В-рЕ1 = 0, где В = Е--2(Е-А)- .

Легко видеть, что если все собственные числа Sj исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7) лежат в левой полуплоскости комплексного переменного s, то все собственные числа Pi построенной матрицы В находятся внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат плоскости комплексного переменного р. Если хотя бы одно s окажется в правой полуплоскости, среди pt найдется такое, для которого pil> 1.

Известно, что если собственные числа матрицы В суть Pi. Ра. > Рп> то собственные числа матрицы равны pj, Pt. Pn. т. е. при возведении матрицы В в степень в ту же степень возводятся и ее собственные числа.

Тогда, если все Sj матрицы А системы (6.7) отрицательны, последовательное возведение матрицы В в степень уменьшает абсолютную величину собственных чисел pf, ибо все рг лежат внутри единичного круга с центром в начале координат и по модулю меньше единицы: pil<C 1.

Критерий формулируется следующим образом: для того чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

В-Е ~2(Е-А)-1 (6.12j

выполнялось условие

В*->0 при k-> 00, (6.13)

где О - нулевая матрица.

Можно доказать, что критерий справедлив во всех случаях, если матрица Е - А неособая, т. е. когда ее определитель не вырождается в чу ль. Если Е - А = О, то не существуют (Е - А)-1.

Могут быть построены функционально-преобразованные Щтрицы для всел практически важных случаев расположения спектра матрицы А. Введем, например, степень устойчивости т)

Для того чтобы спектр Si матрицы А располагался левее мнимой оси в области Res<:T], необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось условие

lim В = 0,

В=Е-2[(1+г1)Е-А]

Введем угол 2ф, соответствующий некоторому показателю колебательности. Для того чтобы спектр матрищ.1 А располагался внутри угла раствора 2ф с центром в начале координат, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось требование

lim Вф=:0,

где Вф = Е-2[Е-/Ае- ч]-\ или = Е - 2(Е + tAei)-

Матрицы Вф и Вф являются комплексно-сопряженными, поэтому можно рассматривать лишь одну из них.

Аналогично могут быть сформированы функционально-преобразованные матрицы В для других случаев расположения спектра Sj матрицы А [6, 7].

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы В. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей, т, е. по закону

bb-bb

Тогда k-я степень матрицы В* находится через logg k шагов (128-я степень матрицы В получается через семь, а 1024-я - через десять возведений матрицы В в степень). В этом случае в памяти машины не надо постоянно удерживать матрицу В, так как каждый раз используются лишь полученные из нее степени.

Изучение степени матрицы В (ft = 1, 2, 4.....2 ) следует

вести до тех пор, пока не будет соблюдаться неравенство

где Ifcff I - элементы матрицы В* (/, / = 1, п).

Более экономичная оценка возможна на основе рассмотрения матричных норм и следов. Напомним, что нормой квад-