Для определения области D (т), и в частности области ус тойчивости D (0), достаточно знать распределение корней (т.е. число правых и левых корней) при каком-либо одном произвольном значении параметра v = Vo- Переходя в плоскости v от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D (т) в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом чевых корней. Чтобы установить, является ли эта облас-ь действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением Vfl, лежащим в этой области. Подставив Vq вхарактерис-тическое уравнение, нужно, испОоТьзуя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левьши. Если при .этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра v нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом; то из полученной области устойчивости выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис. 3.24, б.

ZJ-разбиение по двум параметрам. На практике часто требуется выяснить влияние на устойчивость не одного параметра, а двух, которые линейно входят в характеристическое уравнение замкнутой системы так, что характеристическое уравнение можно привести к виду

D (s) = vN (s) + li M(s) + L (s) = 0, (3.83)

где (s), M (s), L (s) - полиномы от s; -v и x - изменяемые параметры, влиянием на устойчивость которых интересуются.

Подставляя в (3.83) s = /со, получим выражение для границы D-разбиения в плоскости параметров:

D (/©) = vN (/©) + цМ (/(о) 4- L (/(0) = 0. (3.84)

Введем обозначения

iV(/to) = 7\/i((o)-f/Wnco);

M(M = Mi(co)4-/Ma(co); L(/fo) = Li((o) + /L2(fo)

(3.85)

и разобьем (3.84) на два уравнения, приравняв отдельно вещественную и мнимую части нулю:

vNj (со) + iiMy ( ) + Li (( ) = 0; (3.86)

viVa (со) + iiM (со) + La (со) = 0. (3.87)

Решение системы уравнений (3.86) и (3.87) сггносительно

V и [Д,

V = Д1/Д; (3.88)

= Да/А. (3.89)

где Д ==

Ai((o)Mi(co) Л/а(со)Л12(<о)

Д1 =

Д2 =

-главный определитель системы;

(3.90> . (3.91)

-Li (со) Ml (со) -L (o>)/M2(co) 7Vi(co) -Li(co)

(3.92)

- частные определители системы..

Так как (со), (со) и La (со)- нечетные функции со, то Д, Д1 и Да тайже нечетные функции со, а v и - четные функции со.

Задавая различные значения со от - оо до оо, для каждого со по параметрическим уравнениям (3.88) и (3.89) определяем величинь! V и fx и строим границу Ь-разбиения в плоскости этих параметров.

При этом возможны следующие три случая:

1. При заданной частоте со;; определитель Д, а также определители Д1 и Да не равны нулю одновременно. Тогда (3.86) и (3.87) совместны, а (3.88) и (3.89) определяют для заданного значения со; точку в плоскости параметров v и x. При фиксированном со (3.86) и (3.87) представляет собой в этом случае в плоскости v и ц пересекающиеся прямые 1 и 2, показанные на рис. 3.25, а.

2. При некотором значении со определитель Д обращается в нуль, а определители Ai и Да не равны нулю. Тогда (3.86) и (3.87) несовместимы и не имеют конечных решений. Прямые 1 и 2 параллельны и не пересекаются, как это показано на рис. 3.25, б.

2 #0

Рис. 3.25

3. При некотором значении определитель А и оба определителя Aj и Ag равны нулю одновременно. Тогда v и {л становятся неопределенными. В этом случае, как известно, одно из уравнений (3.86) и (3.87) становится следствием другого, отличаясь от него на некоторый постоянный множитель. Прямые 1 и2 (рис. 3.25, в) сливаются друг с другом и, таким образом, в плоскости V и {Л для заданного % получается не точка, а так называемая особая прямая, уравнение которой Vi (щ)+ -f xMi ( ) + Ьг (toj = 0.

Особая прямая не относится к кривой D-разбиения, так как всем точкам этой прямой соответствует одно и то же значение частоты № = и направление движения по прямой при изменении установить невозможно.

В большинстве практических задач особые прямые получаются при значениях to = 0 и№ = оэ.В этом случае хотя бы один из коэффициентов v и [л входит в коэффициенты, соответствующие свободному ао и старшему Оп членам характеристического уравнения. Особая прямая при © = 0 получается приравниванием нулю коэффициента и, особая прямая при to =оо получается приравниванием нулю коэффициента ао. Если ао и On не зависят от v и fi, то эти особые прямые отсутствуют.

После того как граница D-разбиения и особые прямые ло-строены, их необходимо заштриховать, пользуясь следующим правилом: при возрастании а от - оо до оо граница D-pas6u-ения штрихуется слева, если А > О, и справа, если А <С 0.

Поскольку, как было отмечено выше, v и {л являются четными функциями £0, граница D-разбиения при положительных и отрицательных значениях частоты совпадает. При изменении № от - оо до оо мы обходим кривую D-разбиения чдва раза и поэтому она, гшприхуется всегда двойной штрихойкой.

Штриховка особых прямых, как правили, одинарная и производится так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой