Из (3.47), видно, что при а > О для проверки зстойчизости системы достаточно найти только определители Гфвица от Aj до Ап-1- Есл все определители Гурвица низшего порядка положительны, то система находится на границе устойчивости, когда главный определитель равен Hjnro:

Д = а Д 1. (3.48)

Последнее равенство возможно в двух случаях: а = О или An-i = 0. В первом случае система находится на границе апериодической устойчивости (один из корней характеристического уравцения равен нулю); во втором случае - на rj а-нице колебательной устойчивости (два комплексно-сопряженных корня характеристического уравнения находятся на мнимой оси).

Используя критерий Гурвица, можно при заданных параметрах системы принять за неизвестный какой-либо один параметр (например, коэффициент усиления, постоянную времени и т. д.) и определить его предельное (критическое) значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости.

Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называют критерием Рауса - Гурвица.

Критерий устойчивости Льенара - Шипара. Для исследования устойчивости систем автоматического управления, имеющих порядок характеристического уравнения п 5, удобно применять одну из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Лье-наром и Р. Шипаром.

Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты характеристического уравнения (3.30) положительны ( о > О, Oi > >0, .... а >0), из того факта, что положительны все определители Aj, Дз, Д5,... с нечетными индексами, следует и положительность определителей А. Гурвица А, А, Ад, ... с четными индексами, и наоборот.

Поэтому в тех случаях, когда выполнены необходимые условия устойчивости, т. е. ао>0, ai>0,..., а >0, необходимые и достаточные условия устойчивости сводятся к тому, чтобы среди определителей Гурвица А, А, Д были положительны все определители с четными {или же все определители с нечетными) индексами.

Таким образом, для того чтобы система автоматического Зшрэвленкя была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

ао>0, ai>0, а >0,

Ai>0, Дз>0, или

Go>0, ai>0, .... G >0, А2>0, А4>0, Ле>0, ....

(3.50)

Последняя формулировка критерия устойчивости, называемая критерием устойчивости Льенара - Шипара, требует раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный критерий Гурвица, а поэтому особенно здобна при исследовании устойчивости систем автоматического управления высокого порядка.

Пример 3.2. Пусть характеристическое уравнение системы D (s) = = 12s* -f 2s2 -f 4s Ц- 50 = 0. Система неустойчива, так как коэффициент oi = 0.

Пример 3.3. Характеристическое уравнение системы D (s) = 3s + + 10s* + 5 - 7s2 -f s + 100= 0. Система неустойчива, так как 3 = -7 < 0.

Пример 3.4. Характеристическое уравнение системы D (s) = = 2ss -f 6 + 10s + 15 = 0. Все коэффициенты этого характеристического уравнения положительны, и определитель Гурвица с четным индексом равен

Со 02

= 0102-00 03 = 6-10-2.15 = 30 0.

Следовательно, система устойчива.

Пример 3.5. Характеристическое уравнение системы

D (S) = (1 + Tys) (1 + Ts) (1 + TsS) + К-= О,

где К - коэффициент усиления разомкнутой системы; Ту, Т, - постоянные времени отдельных динамических звеньев системы. Найдем,-пользуясь критерием Гурвица, предельнее значение коэффициента усиления разомкнутой системы /(цр как функцию постоянных времени Т\, Т, Tg.

Перепишем характеристическое уравнение в виде D (S) = ТуТТ + (ТуТ + TyTs + Г2Г3) + (П + 72 + Т) s+ -Ь 1 + i< = Oos + flis + as + сз = О, .

где Оо = Г1Г2Г3; fli = ТуТ, -\- ТуТ + Г2Г3; 02 = П + 72 + Т;

оз = 1 + -

Согласно критерию устойчивости Гурвица, система третьего порядка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства:

Оо > 0; ai > О, > О, Оз > О, аа - > 0.

В данном случае все коэффициенты характеристического уравнения положительны, поэтому система будет устойчива, если

(ГГ, -f Г1Г3 -f Г,Гз) (Г1 + Г, + Гз) > ГГ.Гз (1 -f К).

Последнее неравенство можно переписать в виде

л: < (1 + + Тз) (1 + I/T2 + 1/тз) - 1,

Предельное (критическое) значение коэффициента усиления, при котором система будет находиться на границе устойчивости, равно

KV = (1 + + Тз) (1 + + 1/13) - 1-

Из последнего выражения следует, что предельный коэффициент усиления системы определяется ие абсолютными значениями постоянных времени динамических звеньев, а их относительными значениями. Чем более резко отличаются постоянные времени друг от друга, тем больше Лкр. В частном случае, когда х - х= 1, т. е. = Г2 = Г3, значение /(кр минимально и равно всего лишь Ккр = 8.

§ 3.6. Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность.

Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит следствие из известного в теории функций комплексного переменного принципа аргумента, который кратко излагается ниже.

rijctb дан некоторый полином п-к степени D (s) = floS -b -\-axS - + ... + a,j. Этот полином в соответствии с теоремой Безу можно представить в виде D (s) = о ( - Si) (s - Sj)... ... (s - s ), где Si = aj -f /co - корни уравнения-D (s) = 0.

Ha комплексной плоскости s каждый корень геометрически может быть изображен вектором, проведенным из начала координат к точке Sj (рис. 3.6, а). Длина этого вектора равна модулю комплексного числа Sj, т. е. Sj, а угол, образован-