монических функций. Все операции выполняются в веществен ной арифметике. На возможность модифицировать 1)-разбие-ние применительно к машинной постановке впервые, по-видимому, обратил внимание Шилак, который создал методы анализа и синтеза автоматических систем [20]. В дальнейшем были продолжены исследования по усовершенствованию метода и расширению его возможностей [6].

Кратко изложим необходимые сведения о полиномах Чебышева. Полиномы Чебышева имеют ряд существенных преимуществ. Они выражаются через элементарные тригонометрические функции, обеспечивают наиболее сильную сходимость при представлении функций, коэффициенты полинома всегда суть целые числа, что важно с вычислительной точки зрения, так как целые числа не вносят ошибок округления. Чебышев-ские многочлены обладают всеми свойствами рядов Фурье. Их и можно рассматривать как ряды Фурье, замаскированные с помощью преобразования переменной 6 = arccos х.

Рассмотрим простое тригонометрическое тождество

cos (л + 1) е + cos (л - 1) 6 = 2 cos e-oos лв (6.53)

и аналогичное ему

sin (л + 1) 6 + sin (л - 1) 6 = 2 cos 6-sin лв. (6.53а)

Тождества позволяют вычислить значения cos лв и sin лв через предыдущие значения cos в и sin в. Если положить cos в = л: и начать с cos О = I И cos в = дс, то формула (6.53) дает для cos 2в квадратный многочлен от х, для cos Зв - кубический многочлен и т. д. Поэтому формулу (6.53) можно переписать в виде

(л:) = 2хТ(X)-Г 1 {х),п=\,2, .... (6.54)

В частности,

To() = cos(0) = l; Гз(л:) = 4х-Зл:; Т1(л:)со5л; = л;; , , Г4(х) = 8х*-8х+1; . ; ТАх)-2х-\;. ............

Полиномы Тп {х) называются полиномами Чебышева 1-го рода. По рекуррентной формуле (6.54) получаются те же значения cos пв, но в виде полиномов п-й степени относительно переменной х = cos в:

cos лв = Т {х).

Подобный результат имеем для формул (6.53а), если разделить обе ее части на sin в. В этом случае исходим из тождеств

sine j. si£L?e.2cose - .

sinG sine

sinSe

и получаем -г-g в виде квадратного полинома относитель-sill и

sin 48

° X Ттгн ~ В ВДе кубического полинома, и т. д. Полином Sin о

п-й степени относительно переменной л: = cos 6 мы получаем

через значения !11<+1)в .

sin е

sin( +i)e

sine

Рекуррентная формула для f/ (л:) имеет вид

Vn+г (х) = 2xU (X) -(/ -1 (а?); п = 1. 2.....

В частности,

sine

С/(;с) = Jiin±f£iL = С/4(х) = 16х*-12;с2+1;

sin 8

= 2cose=2x;

t/2(J)=4x -l;

Полиномы (/ (х) называются полиномами Чебышева 2-го рода.

Преобразование х = cos 0 можно рассматривать как проекции пересечений полукруга с прямыми, имеющими равные углы между собой. Неравномерное расположение прямых, которое сгущается к концам интервала -I л: 1, определяет область задания полиномов Чебышева 1-го и 2-го родов.

Следующая формула связывает полиномы Чебышева 2-го рода при отрицательных и положительных значениях аргумента:

Uni-x)(-irUn(x).

Полиномы Чебышева I -го и 2-го родов связаны следующим образом:

Un (х) = xUy (X) + Тп (X), откуда Г . (к) = (х) -xt/ i {х).

Рассмотрим теперь использование полиномов Чебышева для перестроения D-разбиения. Пусть характеристическое уравнение имеет вид

aoS -faiS -+... + On= 2 -ftS* = 6- (6-55)

Корни характеристического уравнения могут быть различными. Исследуем случаи комплексных, вещественных и чисто мнимых корней уравнения. Рассмотрим случай комплексных корней, представив их в тригонометрической форме:

.< . 5=0) (cos G -f / sin 6). (6.56)

Аргумент 6 изменяется в промежутке [О, л]. Это будет соответствовать сопряженным корням, расположенным в верхней и нижней полуплоскостях

Область устойчивости соответствует значениям аргумента в промежутке 1л/2, л]. По формуле Муавра имеем

s* = о* (cosAe.+ /sinftG).

Подставим выражение (6.56) в характеристическое уравнение (6.55) и приравняем нулю вещественные и мнимые части. Получим

2 an-hW*cosfte=0: (6.57)

2 sin fte=0. (6.58)

Отметим, чтов равенстве (6.58) счет начинается о. k = 1, так как слагаемые, соответствующие значению ft = О, равны.нулю. Положим cos 6 = Используя полиномы Чебышева, получим

... cos fte = {I); sin fte = sin QUk-x {I) (sin 6 ф 0).