критическим. .Как показал Ляпунов, в критическом случае устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения не может быть оценена по уравнениям первого приближения, так как она зависит от вида нелинейной функции Ri (х, х,..., Хп), и поэтому в этом случае требуется рассмотрение дифференциальных уравнений возмущенного движения (3.17) в их исходном виде.

Теоремы Ляпунова имеют весьма важное значение, так как они позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого приближения).

§ 3.4. Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Покажем, как на основе изложенного выше определения устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического управления, записанное для регулируемой выходной величины X {t) при наличии управляющего воздействия g (t), имеет вид

(Оо Р + fliP - + ... + G ) X (О =

= (P + fciP -+-+ferJg(0, (3.21)

где fl!o. cin и &o. i.-.-. ro - постоянные коэффициенты,

a p = didt - оператор дифференцирования.

Изменение регулируемой величины х (t) при произвольном внешнем воздействии g (i) представляет собой решение уравнения (3.21):

X (t) = (О + Хсв (t)- (3.22)

В (3.22) первое слагаемое х (t) - вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения (3.21). Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.21) с правой частью:

(Go р -Ь fli р - + .., + G ) х (t) = = ФоР + Ь,р-g (0. (3.23)

Второе слагаемое дгв (О - свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (3.21) без правой части:

(йо р- + Оур -* + ... + й ) Лев (О = 0. (3.24)

Обычно в теории автоматического управления интересуются устойчивостью вынужденной составляющей х (t) переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса Хв (t). Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины х (f), / а отклонением или вариацией - свободная составляющая

Хсв (О = X (t) -Хв(1).

Возмущениями, по А. М. Ляпунову, являются начальные значения Хсв, которые возникли в момент под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, т. е. начальные значения Лево- Дифференциальными уравнениями возмущенного движения первого приближения в данном случае будут уравнения (3.24).

В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпунову система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при t->- оо свободная составляюищя будет стремиться к нулю, т. е. Хсъ (О 0. Чтобы найти эту составляющую, необходимо решить дифференциальное уравнение (3.24):

о + 1-~ + -+а Хев(0 = 0. (3.25) at - at ---

Решение уравнения (3.25) находят как лгсв (О = Се *. Дифференцируя это выражение п рази подставляя в (3.25), после сокращения на общий множитель Се получаем

GoS +aiS -4-...+a =0. (3.26)

Полученное алгебраическое уравнение (3.26) называют характеристическим уравнением. Его корни Sy, Sg, s будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть уравнения (3.26) совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении (3.21), поэтому характеристическое уравнение получают обычно, приравнивая к нулю дифференциальный оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении (3.21), т. е.

Оо/з +Gip - -f ...Ч-о = 0. (3.27)

Следует заметить, однако, что в характеристическом уравнении (3.27), р = S означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число.

Решение характеристического уравнения степени п содержит п корней. Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно сопряженными, мнимыми попарно сопряженными, нулевыми. В общем случае

= + /сог. (3.28)

На рис. 3.4 показаны возможные положения корней в комплексной плоскости корней s при

Si = Oi; Sa = 2 + /г; S3 = tta - ju}; S4 = 0;

Se = - в -Ь jtoei s, =

Рис 3.4

= - 5

5 = - /Шв.

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.

Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они в комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями - правыми корнями.

Условие устойчивости линейной системы формулируется следущим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения (3.27) были левыми.

Указанное условие устойчивости легко пояснить, рассматривая решение однородного уравнения (3.25), которое при отсутствии кратных корней имеет вид

.(0 =

(3.29)

где Sj - корни характеристического уравнения (3.27); Cj - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.