ный вектором с положительным направлечием действительной оси, - аргументу или фазе комплексного числа Sj, т. е. Arg Si.

Величинь! (s - Si) геометрически изображаются векторами, проведенными из точки к произвольной точке s (рис. 3.6, б). В частном случае при s = /со получим

D (/ш) = Go (/ю - Si) (/ю - Sa), (/со - s ). (3.51)

Концы элементарных векторов (/со - Sj) будут находиться на мнимой оси в точке s = /со (рис. 3.6, е).

В выражении (3.51) D (/со) представляет собой вектор, разный произведению элементарных векторов (/ю - s) и действительного числа о-

Модзль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов и Gq.-

D (/ю) I == Gol/co - Sill /ю - S2I...I /со

(3.52)

а аргзмент или фаза его равна сшме аргументов элементарных векторов:

Arg D (/ю) = Arg а (О - si) + Arg (/ю - 8)+... +

+ Arg (/ю - s ). (3.53)

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным. Тогда при изменении со от - с до оо каждый элементарный вектор повернется на угол я, если его начало, т. е. корень Sj, расположено слева от мнимой оси, и на угол - я, если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 3.7).

Предположим, что полином D (s) имеет т правых корней и п - т левых.

Рис. 3.7

Тогда при изменении со от - с до с изменение (приращение) аргумента вектора D (/со), равное сумме углов поворота векторов (/со - Sj); равно

Д Arg D (/со)

(0= -I

: Tt (п -т) - Tt/n = Tt (n- 2m). (3.54)

Отсюда вытекает следующее правило: изменение (приращение аргумента D (/со) при изменении частоты со от - оодо оо равно разности между числом левых и правых корней урсШ- нения D (s) = О, умноженной на п.

Очевидно, что при изменении частоты со от О до оо измене ние аргумента вектора D (/со) будет вдвое меньше:

(3.55)

AArgD(/co)l = =(я/2)(,г-2m).

Каждый из векторов (/м - Sj), соответствующих вещественным корням, повернется теперь на угол л/2 или -я/2.

Векторы 1/со - (а,- + /Mj)], [/м - ( г - /юг)], которые составляют пару, соответствующую,- например, двум комплексно-сопряженным корням, повернутся: один - на угол я/2 + у, а другой - иа я/2 - V, где Y - угол, образованный вектором, проведенным от корня в начало координат, с осью абсцисс (рис. 3.8). Общее приращение аргумента произведения этих векторов при изменении со от О до оо равно

я/2 + V + З - V = п.

В основу всех частотных критериев устойчивости положено уравнение (3.54), определяющее приращение аргумента D (/со) при изменении со от - с до оо, или (3.55) - прц изменении со от О до оо.

критерий устойчивости Михайлова. Этот критерий устойчивости, сформулированный в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым, является, по существу, геометрической интер-

претациёй принципа аргшента и позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения некоторой кривой., называемой кривой Михайлова.

Пусть дано характеристическое зфавнение системы (3.30). Левую часть характеристического зфавнения называют характеристическим полиномом

D(s) = aoS + fliS -i-f ... + й . (3.56)

Если подставить в этот полином чисто мнимое значение S = /со, то получим комплексный полином

D (/ю) = Со (j(o) +ai (/ ) -! -Ь ... -f с = X (ю) + / F (ю) =

= D(co)e*( ), (3.57)

Х(сй) = а -а 2Со + ап-4 *-...,

V (Ю) =Ш (fln-i -й з 0) + С 5 ю* -...)

(3.58)

называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; функции D (со) и я]) (со) представляют собой модуль и. фазу (аргумент) вектора D (/со).

При изменении частоты со вектор D (/со), изменяясь по величине и направлению, бздет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова.

В соответствии с (3.55) угол поворота вектора D (/со) вокруг начала координат при изменении частоты со от О до оо равен

4 Arg D (/со) \tZo=-f (!г-2т).

Отсюда определяем число правых корней полинома D (s), т. е.

Из (3.59) видно, что число правых корней т будет равно нулю при одном-единственном условии

А Arg D (]Ъ) = ЯП/2. (3.60)

Условие (3.60) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все п корней характеристического урав-