Это соответствует случаю определения корней характеристического уравнения с ненулевой мнимой частью. Равенства (6.57) и (6.58) запишутся соответственно в виде

2 о ;,о>*ГЛЮ=-0; (6.59)

2 a -ft >*t/ft-x(g) = 0. : (6.59а)

Сокращая на ю, получим

2 a -ft *-> f/ft i(e)0.

Искомая область находится в левой полуплоскости, что соответствует отрицательным значениям аргумента ? из промежутка I-1, 0]. Чтобы иметь дело со значениями полиномов Чебышева от положительного аргумента (что удобно с вычислительной точки зрения), в равенствах (6.59) и (6.59а) заменим переменную 5 на -5:

2 (-1)* п-й<й*7Л1)=0; . (6.60)

2 (-1)*- an-ft<o*- t/,-i(e)=0. (6.61)

4 = 0

В равенствах (6.60) и (6.61) области устойчивости соответствуют значениям из промежутка Ю, S1.

Заметим, что

g = -cos е = cos ф; (6,62)

S = ш (-ё 4- / УТ=1% (6.62а)

Пусть коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух параметров р и р линейно:

n-h = otn-h 11 + Pn-ft Pa + Tn-л- (6.63)

Подставляя выражение (6.63) в равенства (6.60) и (6.61), получим систему относительно параметров р и р с коэффициентами, являющимися функциями со и g: . , .

11 Лг ( , I) + Ра Вг ( , I) + Q (со, I) = 0; PiA(W, Ш + Р2б2( , l)-\-Ci{&, 9=0,

(6.64)

2= i (-l)*-a -;,COft-f/, ,(g);

. .. fii=- i (-1)*Р -.о)*Г*(ё);

fe=0

2 (-i)*-Pr.-.o)*-t/ft-i(e):

fc=0

G.= S (-.n*-Yn-.o>*-t/, ,(g). Решая систему (6.64) при условии, что получим

t >

(6.65)

(6.65а)

Формулы (6.65) для коэффициентов системы (6.64) можно упростить, если вместо полиномов Чебышева ввести в рассмотрение функции

/ftK5)=(~i)*<o*rag); (6.66)

QJ ,g)=(-i)*co*f; (5). (6.67)

Для этих функций могут быть получены рекуррентные формулы. Умножая (6.66) на {-l)*u)*, получим

(- -1)*+ > Tk-xil) = (-!)*+ 20)=+ Г,т-

-( 1,*+.со*+>Г,+,(У

Ph+1 ( . I) = -2coPft (w, g) -0)2 Pu-i (to. I), fe = 1, 2.....

причем

Po ( . ) = To (I) = 1; Л ( . 9 = (5) = -

Аналогично, умножая (6.67) на (-1)*+*о)*+\ получим

(-1)*+ *+> t/ft+i а)=(-!)*+2gfi)*+ t/,(g) -(-])*+ 6+t/ft l(g)

Qh+1 к ) = -2gtoQ, (о. D-wQft-i (о. I). k = 1,2...., (6.68) где Qo ( . I) = to ® = 1; Qi ( . I) - a) = -2cog.

Таким образом, вместо (6.65) можно применять формулы

= 11 n-ft /ft ( . I); - 2 ft-i fil = i Pn-ft Pk ( . 5); Ba 2 Pn-b = 2 Tn-ft /ft (to. I); Q = 2 vn-ft Qft-i (<o. g).

Используя связь между полиномами Чебышева 1-го рода Tft и 2-го рода t/ft, формулы можно сделать еще 11роЩе. Перейдем от функций Pft к функциям Qft:

Умножая на (-l)to*, получим

Pft(fi),l)=Qft( .g) + gcoQft i((o,g). (6.69)

Подставим теперь выражение (6.69) в формулу для А. Получим

1 = а Ро + 2 ) = + 11 -ft Qft( ) +

ft=i ft=i

+о 2 п-ftQft-i ( ),?) . . ,

или (так как Qo = 1)

Л= 2 a -ftQft( . 5) + 5 >Л-ft=o

Аналогично можно получить

2 Tn-ftQft( .S)+fi)B2; Ci= 2 Tn-ftQft(.S)+l*>G8.

ft=o . ... ft=0 .,