по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от до а в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали допс-лняют коэффициентами характеристического уравнения С последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше п {п -- порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурвица низшего порядка:

Aj = ai; А2 =

о 2

fli Аз Й5

Ас 2 4

о Й1 йз

Aft =

1 Оз 5

С 2 fl4

О Й1 йз

flfe

(3.39)

Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, для которого составляют данный определитель. Критерий устойчивости Гурвица формлирзется следующим стразом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения о, т. е. при йо > О были положительными.

Таким образом, при о > О для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Ai == fli > 0; Да =

fli fl3

с 2

0; Дз

fli 3 fls

flo 2 4 О Gj Gg

>0;

A =

Gi Gg G5 .

0 C2 4 0 fli g3 .

ООО.

.. 0

.. 0 .. 0

.. G

(3.40)

Раскрывая, например, определители Гурвица для характеристических уравнений первого, второго, третьего и четвертого порядков, можно получить следующие условия устойчивости:

1) для уравнения первого порядка (п = I), т. е. о s + + ciy =0, зсловия устойчивости

ао > 0; Oi > 0; (3.41)

2) для уравнения второго порядка (п = 2), т. е. floS®+ -ffliS + 2 = 0, условия устойчивости

о > 0; Й1 > 0; а >0; (3.42)

3) для уравнения третьего порядка (п = 3), т. е. + + as + + 3 = О, условия устойчивости

о > 0; щ > 0; fla > 0; з > 0; (3.43)

аа., -aofl3>0; (3.44)

4) для уравнения четвертого порядка (м=4), т . е. as* + +ау + + .asS + 4= О, зсловия устойчивости

flo>0; fli>0; аа>0; аз>0; а>0; (3.45) аз(а1Й2-flofls)- 1Й4>0. - (3.46)

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме положительности коэффициентов необходимо соблюдение дополнительных неравенств (3.44) и (3.46).

При число подобных дополнительных неравенств

возрастает, процесс раскрытия определителей становится довольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устой- чивости Гурвица обычно применяют при п 4. При п 5 целесообразно применять формулируемый ниже критерий устойчивости Льенара - Шипара либо при использовании критерия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с использованием ЭВМ.

В последнем столбце главного определителя Гурвица (3.38) отличен от нуля только один коэффициент а , поэтому

Д =А Д ,. (3.47)