Для системы с весовой функцией w {t - т, т) таким свойством обладает функция

W (/со, 0=1 w(Q,t -Q) e-e dQ. , (2.99)

Это соотношение примем за определение частотной передаточной функции нестационарной линейной системы с весовой функцией W {t - x, т). Для ее передаточной функции W (s, t) из (2.99) получаем

. W{s, t)==j w{e,t~e)e-Q. (2.100)

Передаточные функции W (/со, t) ч W (s, t) называют паражт-ртескими.

Итак, параметрической частотной передаточной функцией нестационарной линейной системы (с весовой функцией (су {t - - г)) называют функцию W (/со, t), определяемую соотношением (2.99). Параметрической передаточной функцией нестационарной линейной системы (с весовой функцией w (t - х,х)) называют функцию W (s, t), определяемую соотношением (2.100).

Докажем, что функция W (/со, t), определяемая соотношением (2.99), действительно обладает свойствами частотной передаточной функции.

Пусть на вход нестационарной линейной системы с весовой функцией W {t - т, т) подается гармонический сигнал и = = Ыт cos со/. Представим его в виде суммы

ы = Wi + 2 = Y + Y Используя (2.98)

y(t)= j w{t-x,x)u{x)dx

при =wj= i е , получим

= j* w{t-x,x)ef< dx.

Сделаем замену переменной t - т = 9. Тогда

yit)=.w(G, t-~Q)&i<(t-B) 0

= ijL J и, (0, / e) e-/e dQ.

Введем обозначение W [ja, t) = j w(Q, t - Q)e-i<dQ.

При этом последнее выражение для (t) принимает вид

у (t) = W (/со, t) eit. (2.101)

Аналогично, при и = е-* получим

(О = W (-/со, О е-/ *, (2.102)

Щ -/со, О = J (6, -е ) ее do. о

Решения (2.101) и (2.102) можно переписать в виде i/i (О = /4 (со, О ~ еЯ Ч-ч> *. <)];

у, (О = А (со, О е-Я <+<1>( .

Л (со, О = 11 (/со, 01; Ф (со, О = arg W (/со,/).

Пользуясь принципом суперпозиции, для выходной величины у при и = Urn COS со/ ПОЛуЧИМ У = + = ( , О X

X COS [at + р (со,

Таким образом, действительно модуль функции W (/со, /), определяемой (2.99), равен отношению амплитуд выходного и входного гармонических сигналов, а ее аргумент - сдвигу фаз.

Установим зависимость между изображениями (Лапласа) выходной и входной величинами.

Перепишем (2.98) у (t) = J w {t - i, i) и (т) dx, используя

- оо

замену переменной / - т = 9, в следующем виде:

y{t)\ w(Q,t-Q}u{t-e)dQ. (2.103)

Представим входную величину с помощью обратного преобразования Лапласа:

uiO-i-JU(s)e-ds, где <7 (s) = L {и (/)}, и подставим ее в (2.103):

оо f Оо + /°о

t/(0=J ш(е,/-6) j U{s)e*~>ds dQ.

о l Оо-/оо

Поменяв порядок интегрирования, получим

То + /Ь) [ оо

y{i)-~ j f/(s)e J ш(в. e)e-e de ds. .

Oo-/оо lo 1

Очевидно, внутренний интеграл равен параметрической передаточной функции W (S, t). Поэтому можем записать

ао+/оо

у (/) J U(s)W (s, О ds.

a -/оо

Этот интеграл совпадает с обратным преобразованием Лата-са. Поэтому, обозначив V (s, t) изображение выходной величины у (t), получим

Y (S, t) = W (s, /) и (S). (2.104)

Из этого уравнения следует, что параметрическая передаточная функция равна отношению изображений выходной н входной величин.

Если известна параметрическая передаточная функция и изображение входной величины, то ho (2.104) можно определить изображение выходной величины, а затем, пользуясь таблицами или каким-либо другим способом, найти и саму выходную величину.