Si, Sa, .... s - его корни. Определим производную D (s) = = dD (s)/ds, принимая для простоты n = 3:

dD (s)/ds = (s - Sa) (s - S3) + (s - si) (s - S3) + (s - Sj) X

X (s -Sa).

Подставляя в это выражение s = s, обратим в нуль все слагаемые, кроме первого, при s = Sg - все, кроме второго, при S == Sg - все, кроме третьего. Таким образом, значение производной D (s) при S = Sf будет равно произведению п - 1 сомножителей

fc=i

Заменяя в (4.15) D (Sf) полученным выражением, можно написать следующую формулу для вычисления характеристики:

h(f)n+yJM±lL. (4.45)

D{0)

Si П (Si-Sk)

ft = i

Этим выражением удобно пользоваться, располагая построенными корневыми годографами, определяя значения длин и аргументов векторов (S - s) по чертежу годографа. Подробнее с упомянутыми вопросами можно ознакомиться в [9].

§ 4.7. Интегральные оценки качества переходных процессов

Интегральные оценки качества являются интегралами по времени от некоторых функций переходного процесса свободной составляющей выходной величины Хсв (О ли ошибки

(О- Цель использования таких критериев состоит в том, чтобы получить общую оценку быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения. Широко используются линейные и квадратичные интегральные оценки.

Линейные оценки вычисляются по формуле

Jo = Je- / e, . (4.46)

Рис. 4.19

Рис. 4.20

Однако чаще используют моменты i-ro порядка, т. е. оценки вида

Л1=.[ tBcAt)dt; о

(4.47) (4.48)

= J tnzAf)dt. о

(4.49)

Простейшей из этих оценок является Joo (4-47). Если система устойчива, то lim (О = 0. интеграл /оо стремится

к конечному значению, равному площади под кривой бсв (О (рис. 4.19). Чем выше быстродействие системы, тем меньше величина /оо, поэтому параметры системы следует выбирать так, чтобы Joo стремился к минимуму, т. е. dJJdA = О, где А - варьируемый параметр системы. Недостатком этой оценки является то, что она применима к монотонным или апериодическим процессам. При колебательном процессе (рис. 4.20) площади, ограниченные (t), складывают алгебраически и минимуму может соответствовать процесс с большим числом колебаний п, т. е., с малым быстродействием и даже с незатухающими колебаниями. Для 8с в (s) изображение по Лапласу

:(s) = j,

.-St,

At)dt.

Сравнивая это выражение с (4.47) для /оо. можно записать , = ееЛОй = £св(0).. (4.50)

Разложим е- в ряд по степеням st:

e- = \-st + 0,bsf.... . (4.51)

Подставим (4.51) в выражение для определения £св (s), т. е.

оо оо оо

со (S) = j е- е, (О dt = f бе, (О rf -S j бе, (О +

о 0 0

+ 0,5sjt4,At)dt-...=Joo- s/oi4-0,5sJoa-... (4.52) о

Если разложить Е., (s) по степеням s в ряд:

£св( )=св(0) +f-f) s-o,5(il) S + ....

V ds /8=0 \ ds ]s=o

(4.53)

TO, сопоставляя (4.52) и (4.53), можно сделать следующее заключение, приравнивая выражения при равных степенях s:

Ло = £ов(0); Joi=-ff) ; (4.54)

OS , s = о

л. =(-!) f-) . (4-66)

Если сравнить результаты (4.50), (4.54)-(4.56) с коэффициентами ошибок, приведенными в § 4.2, то /ро = /oi = = (-1) Сг, Jon = (-1) С , где Q, С - ко-

эффициенты ошибок.

Квадратичные интегральные оценки вычисляются по формулам

Ло=ее\(0; (4.57)