Учитывая, что в этом уравнении дифференциальные операторы при выходной и входной величинах и обратные им операторы коммутативны, запишем его в виде [3]

{boP + bxp- + ... + bJ-y

У = {boP + blP -+....+bJx, (2.85)

и = (йо Р + 1Р - 4-... + й ) Хх. (2.86)

Введем обозначения

Xi~Х2; X2 - Xs,...,x,i-i-Xn. (2.87)

Учитывая их, из уравнения (2.86) получаем

х =---{aiXn + ax-i + .-. + cinXi) +- и.

ао о

Объединяя это уравнение с уравнениями (2.87), получаем нормальную систему

Xi = Xi+x; t= 1,2,..., п -1;

х --- ( 1 Хп,+ 2 л: -1 + ... Ч- о-п Xi) + ~и,

ао ао

эквивалентную исходному уравнению (2.84). Выходная переменная системы управления и новые переменные связаны соотношением [см. (2.85)]

У = Хт+1 + biX + ... + b,n Xt.

Рассмотрим, наконец, как преобразуется к нормальной системе общее уравнение одномерной стационарной линейной системы управления с двумя внешними воздействиями, которое запишем в виде

(п) (п-1) (п) (п-1)

y + aiy +... f й у = Ь ы + Ь 1 и + ... + boU+ .

in) (n-1)

+ Cnf + Cn-if +:. + Cof. (2.88)

Здесь для удобства коэффициенты в правой части пронумерованы в обратном порядке. Кроме того, в уравнение (2.88) вклю-ченыпроизводные входные величин ы и / до п-го порядка включительно. Но такая запись не нарушает общности, так как

если в действительности порядки старших производных входных величин меньше п и равны m и / соответственно, то это значит, что в уравнении (2.88) коэффициенты 6 = b i = ... = bm+i = О и с = с 1== ...= c,+i = 0. Уравнение (2.88) может быть преобразовано в нормальную систему вида

Х2 = Хз -baa + PJ;

(2.89)

n- 1

(2.90)

где коэффициенты и pj определяют из следующих соотношений:

п- 1 -/

/= 1,..., rt -1; а = &о- 2 n-khJ

. n- 1

/= l,...,n -1; p = Co-2 a -hP .

Выходная величина у связана с фазовыми координатами равенством

y = Xi + аоЫ+РоЛ (2.91)

Доказательство эквивалентности уравнения (2.88) и системы (2.89) при условии (2.90) и (2.91) имеется, например, в [8].

§ 2.9. Нестационарные линейные системы

Нестационарными линейными системами или линейными системами с переменными параметрами назьшают системы, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Для их Описания по-

мимо дифференциальных уравнении могут быть использованы передаточные функции, переходные и весовые (импульсные переходные) функции, частотные функции и их характеристики. Кроме того, для графического представления нестационарных систем могут быть использованы структурные схемы и графы. Однако методы, основанные на графических представлениях, не так эффективны, как в случае стационарных систем. Правила преобразования структурных схем и графов, установленные при изучении стационарных систем, в случае нестационарных систем несправедливы.

Рассмотрим некоторые способы описания одномерных нестационарных систем. Они могут быть обобщены на многомерные системы так, как это было сделано при описании стационарных линейных систем.

Так как для линейных систем (как стационарных, так и нестационарных) справедлив принцип суперпозиции, тодля простоты можем ограничиться рассмотрением систем с одним входом.

Уравнение одномерной нестационарной системы (объекта) с одним входом в общем случае можно записать в виде

(п) (пг-1) (т) (т-1)

ao{t)y]-aAt) У {-... -an{t)y==b{t)u +b,{t) и +...+

b,(t)u (2.92)

или, в символической (операторной) форме

Q(p,t)y=-R {р, О и, (2.93)

где нестационарные линейные дифференциальные операторы

Q (р, t) = о (О aj (О Р - + ... (0;

R{p,t) -= b, (О P + bx{t)P - + ...-\-bm (О-

Весовые функции. Как уже было определено, весовой функцией называют решение уравнения (2.92) при ы () = б ( - т) и нулевых начальных условиях, т. е. функцию, которая описывает реакцию на единичный импульс системы, находящейся в момент приложения импульса в исходном состоянии. Здесь т обозначает момент приложения импульса и в определении под начальными условиями понимают значения выходной величины и ее производных в момент т. При рассмотрении стационарных систем обычно в качестве начала отсчета времени при-