ории автоматических систем управления наметилось плодотворное сочетание метода переменных состояния с частотными методами. Оба способа описания взаимосвязаны и дополняют друг друга.

Топологические методы опираются на использование методов теории графов. Они получают все большее распространение, однако эффективность их применения во многом зависит от принципиальных результатов, полученных в теории графов.

С точки зрения автоматизации проектирования систем управления с помощью топологических методов представляет интерес задача формирования передаточных функций по структурным схемам. Если структура системы выбрана, то, испапь-зуя передаточные функции динамических звеньев и известные правила преобразования структурных схем, можно сравнительно легко составить программу получения передаточной функции разомкнутой или замкнутой системы при управляющих или возмущающих воздействиях. Программа нахождения. передаточной функции сводится к раскрытию скобок, приведению подобных членов и упорядочиванию коэффициентов по убывающим степеням полинома. Такая программа часто является основной при машинных исследованиях (анализ устойчивости, построение частотных характеристик, построение областей устойчивости, D-разбиение в плоскости параметров и т. д.). Автоматизация формирования передаточных функций позволяет вести параметрический синтез и анализировать различные структуры. Такие программы успешно применялись для построения передаточных функций сложных систем с перекрещивающимися обратными связями. Уязвимое место таких программ - частые случаи переполнения разрядной сетки ввиду плохой обусловленности полинома. Кроме того, существуют технические трудности при программировании, так как некоторые алгоритмические языки (АЛГОЛ ФОРТРАН) не приспособлены для обработки буквенно-символьной информации. Решение подобных задач стало эффективным на основе топологических методов. Так, использование методов теории графов в сочетании со структурными числами дает возможность получать передаточные функции по любой структуре на языке ФОРТРАН.

Метод переменных состояния ориентирован на вычислительные методы теории матриц. Если требуется выполнить анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния (6.1), то традиционные способы требуют предварительного

приведения матрицы А к характеристическому уравнению

А-sE = (~l)n(s + aiS - + ... + a )=0 (6.2)

с последующим применением критериев устойчивости или корневых методов. Существующие критерии устойчивости (Рауса, Гурвица, Льенара-Шипара, Михайлова) могут применяться только непосредственно к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы. Методы локализации собственных чисел матрицы А (Гершгорина, Островского, Бра-уэра и др.) дают лишь достаточные условия и малопригодны для широкого использования.

Получение коэффициентов характеристического уравнения часто связано с серьезными трудностями вычислительного характера, несмотря на наличие стандартных программ, построенных на известных методах. Применительно к задачам машинного анализа и синтеза сложных автоматических систем многие методы не вполне подходят из-за чувствительности к частным особенностям матрицы или потери точности из-за роста погрешности вследствие накопления ошибок округления.

В последнее время были созданы способы определения всех собственных чисел матрицы А, не связанные с операцией вычисления коэффициентов характеристического уравнения. Они основаны на представлении матрицы А в виде произведения ортогональной и почти треугольной форм. Наибольшей универсальностью обладают QR- и QL-алгоритмы. Сущность QR-алгоритма состоит в представлении исходной матрицы А в виде произведения двух матриц: ортогональной Q и верхней треугольной R (нижней треугольной L в случае QL-алгорит-ма). Предварительно матрица А преобразуется к форме Хассен-берга Н, а Qi-алгоритм всегда предполагает, что такое приведение выполнено. Матрица Н является верхней треугольной матрицей, но с наличием субдиагональных элементов. Например, матрица Хассенберга размерности (4 X 4) имеет вид

# S

* * * * О * * * 0 0**

(6.3)

Процедура метода предусматривает построение матрицы, подобной матрице А, но имеющей клеточную треугольную структуру с диагональными блоками 1X1 или 2X2 и теми же

собственными числами, что и исходная матрица А. Приведение исходной матрицы А к матрице Хассенберга Н осуществляется для сокращения числа операций и экономии машинного времени. Различные способы (например, метод Хаусхол-дера и метод Гивенса) приведения к матрице Н рассматриваются в работах по линейной алгебре.

В теоретическом отношении QR- и QL-алгоритмы мало различаются. Qi-алгоритмы эффективнее использовать, когда большие элементы матрицы сосредоточены в нижнем правом углу, а QL-алгоритм - когда большие элементы матрицы сосредоточены в левом верхнем углу. При правильной реализации алгоритма на ЭВМ ошибки округления во многих случаях не оказывают большого влияния на точность нахождения собственных чисел матрицы А. Описание и особенности машинной реализации QR- и QL-алгоритмов более подробно изложены в 14, 5, 14, 151.

Особенности машинных вычислений в задачах автоматического управления. Успех в решении задач автоматизированного проектирования автоматических систем во многом определяется тем, как в действительности осуществляются действия над числами в ЭВМ. Существенная особенность машинных вычислений - влияние ошибок округления. Как бы точно ни осуществлялись операции над числами, для их представления отводится конечное число знаков и они должны быть округлены.

В современных цифровых ЭВМ расчеты, как правило, выполняются в режиме с плавакяцей запятой. Это связано с представлением чисел, сильно различающихся по абсолютной величине. Число разрядов в мантиссе достигает 15 и выше (в десятичных знаках), и все же встречаются задачи, где такой точности недостаточно.

Иногда возникает вопрос, почему вообще нужна такая точность вычислений, как 10-* и выше. В большей части задач науки и техники исходные данные в лучшем случае имеют точность 10-3-10-*, а часто она не достигает и 10-* или бывает еще ниже. На раннем этапе создания цифровых вычислительных машин Дж. Нейман показал, что для получения точности конечного результата, равной 10-, требуется точность промежуточных вычислений в арифметических операциях lO-. Кроме того, существует эффект усиления ошибок, образовавшихся от предшествукяцих операций. Это усиление в принципе может быстро покрыть любой разрыв. Например, отношение 10- и 10- образуют разрыв 10. Дж. Нейман