Если начальные условия нулевые, т. е. л; (0) = л; (0) =... (1-1)

. . . = л; (0) = О, то последняя формула принимает

вид L {х (t)} = S X (s). Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s.

3. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s:

(t)dt

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа т

L {х (t-x)} = е- L {х (/)} = e- X{s).

5. Теорема о свертке (теорема умножения изображений). Если Xi (ff и Xz (t) - оригиналы, а Xi (s) и (s) - их изображения, то

Xi (s) X (s) =i= j (t) x (t -X) dx = J xz (т) x {t -т) dx.

Интеграл правой части равенства называют сверткой функций Xi (t) и Xz (t) и обозначают х (t) * х (t): t t

Xi (/) * Xz (t) = I ATi (t) лга ( -t) dx --== J xz (t) Xi {t -x) dx.

6. Теоремы о предельных значениях. Если х (t) - оригинал, а X (s) - его изображение, то х (0) = Ит sX (s) и при

существовании предела л; (оо) = Ит л; () X {оо) = Mm sX{s).

s->0

7. Теорема разложения. Если функция ЛГ (s) = Л {s)/B (s) дробно-рациональна, причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя, то ее оригиналом является умноженная на 1 (t) функция

<)= 2 ТгЧг -[X(s)(s-sJ .ea

где Sft - корни уравнения В (s) = О, а - их кратности и / - число различных корней. Если все корни уравнения про-еше, то эта формула разложения принимает вид

где я. - степень полинома jB(s), В (s) = ~

Пример 2,2. Пусть изображение

X (S) = 4 (S + 1№ (S + 2)2]. .

Согласно принятому обозначению,

А (S) = 4 (S + 1); В (S) = S (S + 2) ; В (s) = 3s + 8s + 4.

Функция .?f s) имеет полюсы [корни уравнения В (s) = О] Sj = = О, Sj = -2. Полюс Sj является простым, а полюс - кратным, имея кратность 2 = 2. Простому полюсу % соответствует слагаемое

кратному полюсу - слагаемое

1 d ~

Нт --г [X(s)(s-s,) e l =

= lim

s-> 2 ds Поэтому X (<) = 1 + (2<- 1) e

-2<

==(2<-I)e-2.

§ 2.3. Формы записи линейных диффенциальных уравнений. Передаточные функции

При описании автоматических систем управления широко используют символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (2.5,. Перепишем его, опустив для сокращения записи знак Л и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные:

Uoy + aiy + ay-=bou + biU + Cof. . , (2.6)

Введем для операции дифференцирования обозначение р, т. е.

d/dtp; d/dtp.

Используя его, уравнение (2.6) можно записать в виде

аоРУ + Oipy + аУ = Ьфи + V + Cof. (2.7)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования) р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение ру -как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая это замечание, перепишем (2.7), вынеся у ииза скобки:

{оор +aip + а)у = (V + ) W + cj. (2.8)

Введем обозначения Q (р) = СоР* -f ср + Cj, (р) == =6оР + it 2 (р) = 0- С помощью этих обозначений уравнение (2.8) можно записать в более компактной форме:

Q{p)y- Riip)u + R,ip)f. (2.9)

В уравнении (2.9) Q (р) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а Ri(p) и /?2 (р) (дифференциальные операторы при входных величинах) - операторами воздействия.

Передаточные функции. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением (2.6) или, что то же самое, уравнениями (2.7) - (2.9), можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией Wi (р) по входной величине и, т. е.

Wx (Р) = Ri (P)/Q (Р) = (ЬоР + Ь/{а+

+ аф + а), (2.10)

и передаточной функцией (р) по входной величине f, т.е.

(р) = R {p)/Q iP) = Со/( о/ + а,р + cj). (2.11)

Используя передаточные функции, уравнение (2.6) записывают в виде

у = 11 (р) и-ЫГг (Р)/. (2.12)

Это уравнение представляет собой условную,более компактную форму записи исходного уравнения (2.6). Уравнения (2.8),