в методе Рунге-Кутта четвертого порядка не требуется вычислений производных, функция / вычисляется четыре раза для продвижения на один шаг вперед. Так как формулы описывают метод четвертого порядка точности, то порядок погрешности метода составляет О (Л®). Для выбора шага может

быть использована Оценка

которая не должна пре-

вышать нескольких сотых. Имеются модификации формул Рунге-Кутта. Одна из них, предложенная Мерсоном, позволяет автоматически выбирать шаг, обеспечивая заданную точность. Используемые формулы Рунге-Кутта-Мерсона имеют вид

%+1 == + 0,5 (Кг + 4/С4 + Кь),

f<.= -jhf(Xk, tk); K,-~hfitk + -h,Xk+ Кг);

Ks-jhf{tk + -j-h,Xk + -YKi-+~K,);

/С.=-1л/(,+ ±.h,Xk + -Ki+-Ks);

Kb\-hf(t + h, Xk + -f Кг K, + 6/4). Погрешность no этому методу оценивается по формуле 5е = УСх -+ 4К4 - ~ Кб.

где е - заданная точность.

Если правая часть превышает заданную погрешность более чем в пять раз, шаг h уменьшается в два раза, если правая часть меньше чем 5/32 заданной погрешности, то шаг удваивается. Автоматическое изменение шага, по утверждению Мерсона, на 20% ускоряет процесс по сравнению со стандартной процедурой Рунге-Кутта с постоянным шагом. Экономия времени достигается за счет того, что при стандартном методе шаг выбирается слишком малым и время счета увеличивается.

Можно построить формулы Рунге-Кутта высших степеней, при этом основная часть расчетов приходится на счет правой части уравнения. Формула степени точности р требует р-крат ного вычисления правой части. Это может привести к значи-

тельному увеличению затрат машинного времени. С другой стороны, увеличение порядка метода допускает использование большего шага h. Методы Рунге-Кутта легко программируются.

Величину шага h можно изменить на любом этапе вычислений. Метод является самостартующим , первые точки решения вычисляются естественно, как и все остальные.

Перечисленные методы могут быть как явными, так и неявными. Явными методы назьгоаются по той причине, что искомое значение X на (k + 1)-м шаге выражается явно через значения и F,, полученные иа предыдущих шагах. Например, переходные процессы для явного метода Эйлера рассчитывают по формуле

Неявные методы - это такие, в которых искомое значение Xk+i определяется неявно, т. е. через значения x,+i и Р. на том же шаге. Для неявного метода формула Эйлера имеет вид

Xh+i=Xk + hF{Xk+i, h+i).

Важно, что в этом методе можно брать любой шаг, меняя лишь точность построения процессов. Метод устойчив при любых значениях й (й >- 0).

Вычисление xi в неявных методах сложнее, чем в явных, так как приходится решать систему алгебраических уравнений. Так как неявные методы устойчивы при любом h, то при интегрировании определенных классов систем общая трудоемкость может быть меньше.

Ко второму классу относятся многошаговые (многоступенчатые) методы. Их отличительная черта - использование информации при вычислении следующей точки (Xfi+i, t+i) не только в точке (х, tk), но и в предыдущих точках. Многошаговые методы послужили базой для создания методов с прогнозом и коррекцией. Как следует из названия, вначале предсказывается значение Xj,+i (прогноз), а затем оно каким-либо способом исправляется (коррекция). Для корректировки можно использовать ту же самую формулу. Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность. Однако, как правило, используются две формулы, называемые соответственно формулами прогноза и коррекции. Так как многошаговые методы не обладают стартовым свойством, . TP начинать решение надо с помощью одношаговых методов.

Чаще всего для начала решения используется метод Рунге- Кутта. В настоящее время для интегрирования систем х = = f {х, t) широко используются методы Адамса-Башфорта и Хэмминга.

Общая формула прогноза для методов четвертого порядка точности имеет вид

АхЛ- AiXk-r + AiXk-lЛ-h{Boxk +

где лга=/(дгь, tk)\

Л=1-Л-Лг; 59+19Л1+32Л2)/24;

Ai = Ai, Ва = (37-ЪАу + 8 Л2)/24;

Л = Л; Вз = (-9+Лх)/24;

Во = (55 + 9Ау + 82)/24; Е~{-2Ъ 1 - ЮЛ-8Л2)/6.

Формула прогноза типа Адамса-Башфорта может быть получена интегрированием обратной интерполяционной формулы Ньютона [17, 181.

Прогноз по методу Адамса-Башфорта осуществляется по формуле

JtA+i Xk+~ h{bbxk-ЪЫ-1 + 37xjJ 2 -

-9х;; з) +

Коррекция выполняется по формуле

%+1 = Xk-V-h(9xft+ 1 + 19xft -5xfe , + xk-2) +

Последние члены в обеих формулах в действительности в вычислениях не используются и служат для оценки ошибок дискретизации (усечения).

В распространенном в настоящее время методе Хемминга используются следующие формулы прогноза и коррекции:

прогноз

л 28

Xk+x - Ч-z + - J Л (24-xk- . -h 2х 2)+- хУ,