w,(s)

Рис. 4.10

Характеристическое уравнение замкнутой системы

D{s) = I + Wi (s) (s) = О (4.31)

r(s) = -l. (4.32)

Надо отметить, что излагаемый метод наиболее пригоден для выбора общего коэффициента k передаточной функции разомкнутой системы W (s), которая содержит его как множитель.

Уравнение (4.32) можно записать в виде системы уравнений относительно модулей и фаз:

!Г(5) == irWs) Г., (s)l = 1; (4.33)

arg W (s) ±(2i + 1) Я., (4.34)

где i - 0, 1, 2, ...

Уравнение корневых годографов (4.34) является основой для их построения.

Пусть известны нули и полюсы передаточной функции

разомкнутой системы: Si, Sg.....s - полюсы,!, Sg, .... s -

нули. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

W{s)=ak

(s-s(s -sz) ... (s -о

(4-Sl)(S~S2) ... (i-Sn)

(4.35)

где a - множитель, появляющийся при разложении числителя и знаменателя W (s) на множители; к - общий коэффи-, циент усиления; m п.

Сомножители (двучлены) числителя (s - s) и знаменателя (S - Si) функции (4.35) на плоскости корней изображаются векторами (s - Sj) и (s - s,), которые образуют с вещественной осью углы Qj{Qi) (рис. 4.11). Тогда аргумент W (s)

можно записать как разность аргументов числителя и знаме-

нателя arg W (s) = 6,- - 2 6,- и уравнение (4.34) при-/=1 .=1

мет вид

Е - i е,- = ± (2v -f 1) л, (4.36)

где V = О, 1, 2, ...

Уравнение (4.33) удобнее представить как

причем

\W {s)\=-akl = 1. ... . . k= llial), .. (4.37)

/ = П /> / П /,. (4.38)

где Ij - длина соответствующих векторов (s - Sj), j - 1, .... m; li - длина векторов (s - s,-), i= 1, n.

Корневые годографы строят по (4.36), куда k не входит. Для уже найденных корней по (4.37) определяют k. В. Ивенсом предложено специальное устройство Spiru! для ускорения построения корневых годографов. Оно состоит из прозрачного транспортира для сложения углов (6) и логарифмической спирали для перемножения длин векторов (/), по которым определяют величину k. Описание этого устройства приведено в 12] ч работах В. Ивенса.

Построение корневых годографов требует знания их свойств, которые приведем ниже без доказательств.

!. Комплексные части корневых годографов попарно сопряжены, и ветви годографа симметричны относительно вещественной оси.

2. Число ветвей корневого годографа равно порядку уравнения D (s) = О, т. е. числу полюсов передаточной функции замкнутой системы Wg (s)-

3. Ветви корневого годографа начинаются при А == О в полюсах передаточной функции разомкнутой системы W (s).

4. При А -> оо m ветвей корневого годографа стремятся к т нулям передаточной функции разомкнутой системы, а остальные п - т ветвей уходят в бесконечность.

5. п~ т ветвей корневого годографа, ухсдящие в бесконечность, имеют асимптоты, число которых равно разности

порядков числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы W (s), т. е. /г - т. Асимптоты выходят из одной точки на вещественной отрицательной полуоси с абсциссой

0 2 1- S Л /( - ) (4-39)

е - {21 + 1) п/{п - т), (4.40)

под углами

где i О, I, 2..... п - m - 1.

6. Точки пересечения корневого годографа с мнимой осью могут быть найдены с использованием одного из критериев устойчивости. Если п jc, то эти расчеты не вызовут трудностей, а для систем более высокого порядка эта часть построения годографа наиболее трудоемка. В этом случае можно рекомендовать алгоритм Рауса, чрезвычайно удобный для реализации на ЦВМ, или метод проб по уравнению фаз (4.36).

7. Точки на действительной оси, из которых одна ветвь корневого годографа уходит в верхнюю полуплоскость, а сопряженная ей ветвь - в нижнюю или, наоборот, приходят в эти кратные точки (кратные корни на действительной оси), можно найти из условия нулевого приращения суммы аргч ментов в (4.36) при переходе от этой точки к близкой ей, н -лежащей на действительной оси. При этом нужно учитыват! знаки приращения углов ДО.

Проиллюстрируем примером определение точек пересе чения с действительной осью. На рис. 4.12 показано расположение полюсов передаточной функции разомкнутой системы, S = -а - двукратный нуль. Определим величину а. При увеличении km Ak двукратный нуль превратится в два комплек-