точках Ai и By оказываются разных знаков. После пересечения граниды может быть образован равносторонний треугольник АуВуСу (рис. 6.12, а-з). Слежение за границей искомой области будет осуществляться в положительном направлении, т. е. против хода часовой стрелки, В качестве первой точки С{ принимается вершина равностороннего треугольника Dy, по- \ строенного на отрезке АуВу вправо от него, если выход на гра-; ницу произошел извне G (Ау) > О, G (By) < О, и влево, если - изнутри G (АуХО, G (By) > 0.

Таким образом, можно продолжить процесс слежения,. зеркально отражая ту из вершин, которая находится в одинаковых условиях с соседней вершиной. Одинаковые условия означают, что обе вершины устойчивы или, наоборот, неустойчивы , т. е. значение параметров Цу и Ма соответствуют устойчивой или соответственно неустойчивой системе.

Координаты точки Су определяются по координатам точек Ау и By-с помощью формул:

а) при- выходе на границу извне

li-->+txi-+V3(,x<->-<->) ,. .

. . 2 .

>+>гР->-Уз(<Л-(1-)

7 , 2

б) при выходе на границу изнутри ,

(Л)+(в.)уз-((в.) (.)) 2

ц<) + х<-> + Уз(,х<Л-,х<>)

Из построения видно, что та из вершин, которая была последней, не отражается. В новом треугольнике AyByDy отражается та вершина, которая находится в одинаковых условиях с соседней вершиной. В данном случае это вершина Ау, так как обе вершины неустойчивы . Процесс последовательного движения вдоль границы и правила отражения вершин показаны на рис. 6.12, а-и.

Отметим, что треугольники при таком способе слежения вдоль границы могут быть и неравносторонними.

Таким образом, построение границы искомой области по симплексному методу включает следующую последовательность действий:

1. Выход в область для пересечений с первой точкой границы. Выход может быть как направленным, например . С использованием метода конфигураций или градиентных методов, так и с помощью прямого перебора точек области. Пересечение границы формирует начало алгоритма слежения вдоль нее.

2. Пересечение границы образует равносторонний треугольник с вершинами /-2-3 (рис. 6.12,с).

3. Далее зеркально отражается та из вершин, которая находится в одинаковых условиях с соседней вершиной (одинаковые условия означают устойчивость или, наоборот, неустойчивость , обеих вершин. Не отражается та вершина, которая была последней. В данном случае отражается вершина 2, так как точки 2 и 5 находятся в одинаковых условиях (устойчивы), а вершина 3 была последней.

4. Образуется новый равносторонний треугольник, в данном случае 1-3-4.

5. Опять зеркально отражается та из вершин, которая находится в одинаковых условиях с соседней вершиной (рис. 6.12, б).

6. Далее процесс слежения вдоль границы осуществляется аналогично вышеизложенному принципу (рис. 6.12, в-з).

список ЛИТЕРАТУРЫ

К тлаве 1 . .

1. Андронов А. А., Вознесенский И. Н., Максвелл Д. К., Выш-неградский И. А., Стодола А- Теория автоматического регулирования (линеаризованные задвчи). М., 1949.

2. Воронов А. А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости. Обзор. - Автоматика и телемеханика, 1982, № 5, с. .5-28.

3. Развитие теории автоматического регулирования в СССР/ Б. Н. Петров, Е. П. Попов, А. А. Воронов, А. В. Храмой. - В кн.: Труды Второго всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования. М., 1955. т. 1, с. 13-50.

4. Техническая кибернетика в СССР.- В серии: Советская наука и техника за 50 лет. М., 1978.

К главе 2

1. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М., 1974.

2. Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М., 1976.

3. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.. 1980.

4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е, Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1. М., 1959.

5. Гноенский Л. С, Каменский Г. А.. Эльсгольц Л. Э. Математические основы теории управления систем. М., 1969.

6. Математические основы теории автоматического регулирования/ Иванов В. А., Медведев В. С, Чемоданов Б. К-, Ющенко А. С. М., 1977. т. 1.

7. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1965.

8. Теория автоматического управления /Под ред. акад. А. А. Воронова. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления. М.. 1977.

К главе 3 -

1. Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования. М., 1966.

2. Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория автоматическбго регулирования. М., 1976.