нимают момент приложения входного сигнала и поэтому в этих случаях полагают т = 0. В данном случае этого делать нельзя. Реакция нестационарной системы зависит не только от времени t - т, отсчитываемого от момента приложения импульса, но и от самого значения т. Поэтому, весовая функция нестационарной системы - обозначим её W (t-т, т) - являются функцией от двух переменных от текущего времени t и момента т приложения импульса.

Реакция - процесс на выходе системы - не может возникнуть до приложения входного сигнала: следствие не может предшествовать причине. Поэтому

w(t-x, т) = О при /<т. (2.94)

Это условие называют условием физической осуществимости или условием физической реализуемости. В случае стационарной системы условие физической осуществимости имеет вид СУ (О = О при t< 0.

Получим формулы, определяющие связь между выходной и входной величинами нестационарной линейной системы управления через ее весовую функцию. Так как, по определению, W {t - т, т) есть решение уравнения (2.93) при и (t) = =- б ( - т), то можем записать

Q {р. t)w(t-x, т) = /? (р. О б ( - т). (2.95)

Умножим обе части на и (т) dx и проинтегрируем по т от

до оо, а затем, вынеся коэффициенты уравнения за знак интеграла (это возможно, так как они не зависят от т) и поменяв местами операции интегрирования и дифференцирования, получим

Q(p,t) J w(t-x,x)u{x)dx=R{p,t) j u{x)b(t-x)dx. (2.96)

- оо - оо

Из определения дельта-функции

J u(x)8{t-x)dx=u{t).

- оо .

поэтому (2.96) можно переписать в виде

. QipJ) j w{t-x.x)u{x)dx==R{p,t)u(t).

Из последнего равенства, которое выполняется тождественно, вытекает, что функция

y(0= J w(i-T,r)u{T)dx (2.97)

- оо

является решением уравнения (2.93) при произвольном заданном и (t). Нижний предел интегрирования т = - со в (2.97) совпадает с моментом подачи входного воздействия. Поэтому (2.97) является искомой формулой, определяющей связь между выходной и входной величинами нестационарной линейной системы в установившемся режиме. Учитывая условие физической осуществимости (2.94), формулу (2.97) можно записать также в виде

y{t)=. J w{t - x,x)u{x)dx. (2.98)

- оо

Аналогично, умножив обе части равенства (2.95) на и (т) dx и проинтегрировав их от О до оо, получим формулу

i/(0=--J w{t-x,x)u{T)dx,

определяющую выходную величину нестационарной линейной системы, когда на ее вход подается воздействие и (t) в момент = 0. С учетом условия физической осуществимости ее также можно записать в виде

y{i) = w(t-x,x)u(x)dx. о

Если зафиксировать переменную т, то весовая функция W {t - т, т) будет функцией от одной переменной t, зависящей от параметра т, и называться нормальной весовой функцией. Нормальная весовая функция определяет изменение выходной величины системы в течением времени при подаче на ее вход единичного импульса в заданный момент т.

Если зафиксировать переменную t - рассматривать ее как параметрi - то весовая функция w {t - т, т) будет функцией от одной переменной х и называться сопряженной весовой функцией. Сопряженная функция определяет зависимость реак-

ции системы в фиксированный момент t от моменту т приложения единичного импульса.

Передаточные функции. Передаточная функция W (р, t) нестационарной системы в операторной форме определяется также, как и передаточная функция стационарной системы (в операторной форме) и равна отношению оператора R {р, t) воздействия к собственному оператору Q (р, t):

W{p,t)R{p, i)/Qlp,t).

Понятие передаточной функции W (s, t) в изображениях Лапласа требует уточнения. Его нельзя определять как отношение изображений выходной и входной величин, так как при этом не ясно, как вычислять W (s, t) по заданному дифференциальному уравнению системы. Кстати, между передаточными функциями W (р, f) hW (s, /) нет такой простой связи, как это было между передаточными функциями W (р) и Ц/ (s) стационарных систем.

Перейдем к определению передаточной функции W (s, f). Для этого воспользуемся физическим свойством частотных передаточных функций.

Как известно, частотная передаточная функция Wijca) стационарной системы имеет следующий физический смысл: ее модуль равен отношению амплитуд гармонических колебаний на выходе и входе системы, а ее аргумент-сдвигу фазы. Частотная передаточная функция W (}(х>) стационарной системы связана с ее передаточной функцией W (s) соотношением

W(/<o)-157(s)s=/ ,.

Аналогичная связь должна существовать между частотной передаточной функцией W (/to, t) нестационарной системы и ее передаточной функцией W (s, t). Поэтому, определив частотную передаточную функцию W (/со, t), автоматически получим определение передаточной функции W (s, t).

Как будет показано дальше, при подаче на вход нестационарной линейной системы гармонического сигнала на ее выходе устанавливается гармонический сигнал той же частоты, но с переменной амплитудой. И частотную передаточную функцию W (/со, t) определим как такую, зависящую от параметра t комплекснозначную функцию от частоты, у которой модуль равен отношению амплитуд гармонических колебаний на выходе и входе нестационарной системы, а аргумент - сдвигу фазы.