в матричной форме, как нетрудно проверить, эта система записывается в виде

А у = В u,

А{р):

аз OiP + Ob

В(р).

Ьор bi 10 Л

Передаточная матрица. Для описания многомерных систем и объектов, как и в случае одномерных систем, можно использовать передаточные функции. Передаточной функцией Wt (s) (в изображениях Лапласа) по j-uy параметру управления и t-му выходу называют отношение изображения Лапласа выходной величины yi к изображению входной величины Uj при нулевых начальных условиях. По определению,

Wl{s) = YAs)/Uj{s). (2.63)

Эту передаточную функцию можно вычислить следующим образом. В системе (2.60) приравниваем нулю изображения всех возмущающих воздействий и параметров управления, кроме и] (s). Из полученной системы алгебраических уравнений находим решение Yi (s), а затем, разделив его на Uj (s), получим искомую передаточную функцию.

Аналогично определяют передаточную функцию wl,- (s) по j-му возмущающему воздействию и t-му выходу:

(2.64)

В случае многомерных систем (объектов) для ее полного описания необходимо иметь р-т передаточных функций по управлению и р-/ передаточных функций по возмущению. Эти передаточные функции записывают в виде матриц:

W (.S) =

Wf (.s) -

iFf,(s)... Wuis)

WU(s)... Wilis) .

(2.65)

(2.66)

Матрицы (2.65) и (2.66) называют матрицами передаточных функций или передаточными матрицами: матрица (2.65)- по управлению-, а матрица (2.66) - по возмущению.

Передаточные матрицы дают полное описание многомерных систем (объектов) при нулевых начальных условиях. С их по-мсяцью уравнения (2.60) или (2.62) многомерной системы в изображениях Лапласа можно записать в следующем виде:

Y (.S) = W (s) и (.S) + Wf (s) F (s). (2.67)

Действительно, согласно определению (2.63), когда изображения всех возмущающих воздействий и параметров управления, кроме Uj(s), равны нулю, имеем

Vi is) = W i (s) и J (s), Ll.....p; / = I..... m.

Аналогично, из (2.64)

Yi{s)==W{,is)Fj{s), t-1.....p; /-1...../.

В общем случае, когда все параметры управления и возмущающие воздействия отличны от нуля, используя принцип суперпозиции, можем записать

yi(s)=- 2 n(s)fi(s)+ 2 b(s)f/(s). = 1.....p. (2.68)

/=1 /=1

Очевидно, (2.67) является матричной формой записи полученной системы (2.68).

Рассмотрим способы вычисления передаточных матриц. Первый способ, указанный выше, основан на использовании определений (2.63) и (2.64). Второй способ основан на соотношениях

W (s) = А- (S) В (s); Wf (s) = A-i (s) С (.s). (2.69)

Эти соотношения получают следующим образом. Умножим слева обе части матричного уравнения (2.62)

A(s)Y(s) = B(.s)U(.s) + C(.s)F(s)

на обратную матрицу А-* (s). Тогда получим

Y is) = А- is) В is) и is) 4- А-1 is) С (s) F (s).

Приравнивая правую часть полученного уравнения к правой части равносильного ему уравнения (2.67), получим соотношения (2.69).

Как известно из курса высшей алгебры, обратная матрица

Anis)...Alf,is)

A-4s)==

A(s)

.i4pi(s)... Лрр(8)

Здесь Aij (s) - алгебраическое дополнение элемента ац (s). Знак Т обозначает операцию транспонирования.

Пример 2.7. Пусть система (объект) описывается уравнениями

г/1+г/1+ № = 1-г Л; г/1+У1+г/а = г+/а.

Перейдем к изображениям Лапласа (при нулевых начальных условиях) (s2 + S) Yy (s) + Y (s) = и, (s) + fi (s); (s + 1) (s) + sY (s) = t/ (s) + (s).

В Матричной форме эта система записывается так: A(s)Y(s)==B(s)U(s) + C(s)F(s).

A(s) =

s2 + S S+1

1 О О 1

C(s) =

B(s) =

Найдем обратную матрицу A-i(s): A(s) = (s+i)(s2-i); Ai=s; л2=-( +1):

.i=-i:

s -(s+1) (s+1) (s-l) L -1 s + s

s --1

(s+l)(s-s) L-(s+l) Так как В (s) и С (s) являются единичными матрицами, то W (S) = wf (S) = А-1 (s).

Весовые или импульсные переходные матрицы. Пусть управляющий параметр Uj = б {t), а остальные управляющие параметры и возмущающие воздействия равны нулю. При этом решение (2.59) многомерной системы при нулевых начальных условиях обозначим ш ; if), w j (t),..., Wpj {t). Эти функции называют весовыми или импульсными переходными функциями. Функция wlj (t) описывает реакцию системы на t-м выходе при действии в точке приложения /-го параметра управления единичного импульса и называется импульсной переходной или весовой функцией по /-му параметру управления и i-му выходу. Матрицу

W (О =

Wpi(t)...Wpm{t)

составленную из весовых функций по управлению, называют импульсной переходной или весовой матрицей по управлению.