привел пример, когда 425 последовательных операций, каждая из которых усиливает ошибку только на 5%, заполняют этот разрыв. Разумеется, приведенный пример лишь иллюстрирует важность проблемы получения верных результатов в условиях накопления ошибок округления. В действительности в реальных машинах результаты округления не столь неблагоприятны. Все же при решении сложных задач приходится считаться с ошибками накопления в результате округления.

В режиме с плавающей запятой почти во всех случаях происходит округление и в окончательных результатах могут наблюдаться существенные, искажения. Результаты округлений, какими бы малыми они ни были, меняют свойства арифметических операций. Свойства ассоциативности и дистрибутивности не выполняются на существующих ЭВМ. Произведение сомножителей, отличных от нуля, может оказаться равным нулю (это явление известно как возникновение машинного нуля при умножении ). Свойство коммутативности соблюдается лишь в том случае, если имеет место правильное округление [4, 5].

Формирование процесса правильного округления в современных ЭВМ, работающих в двоичной системе счисления, затруднительно. В системе счисления с четным основанием округление реализуется неоднозначно. Считается невозможным построить процесс округления в классическом виде, основанный лишь на анализе конца мантиссы, таким образом, чтобы шибки компенсировали друг друга. Следовательно, на ЭВМ, по существу, реализуются новые операции, лишь приближенно изображающие обычные арифметические операции. Отмеченные особенности не могут быть устранены техническими средствами, хотя точность может быть значительно увеличена. Существуют большие возможности увеличения точности. Они заключаются в применении переменной длины мантиссы, в использовании сокращенных систем счисления (например, троичной). -

Распространенным способом анализа точности является решение задачи с обычной и удвоенной точностью. Совпадение результатов указывает на отсутствие ошибок округления, поэтому считается, что остальные вычисления в сходных задачах можно вести с обычной точностью. Такой подход распространен и часто дает удовлетворительные результаты.

Другой подход заключается в использовании специальных программ, позволяющих записьшать числа и выполнять one-

рации над ними с точностью, превосходящей рабочую точность ЭВМ. Такой способ резко увеличивает объем потребного машинного времени и загружает память. В задачах машинного проектирования систем управления этот способ имеет ограниченное применение.

Значительный эффект достигается за счет применения новых вычислительных методов. Изменение вычислительной схемы или использование нового подхода часто дает возможность принципиально решить задачу на ЭВМ. Характерна машинная постановка фильтра Калмана в задачах управления и Навигации. Последовательные вычисления в соответствии с уравнением Калмана не приводят к положительно-полуопределенной матрице ошибок. Причина неудачи кроется в операциях с плохо обусловленными матрицами. Благоприятное изменение вычислительной схемы позволило применить фильтр Калмана в космической системе Аполлон . Сущность применения вычислительной схемы состояла в использовании метода квадратного корня матрицы . Использовался тот факт, что квадратный корень матрицы имеет разброс элементов в два раза меньший, чем исходная матрица, и в этом проявляется как бы эффект удвоения разрядной сетки.

Характерно получение передаточных функций по обычным правилам преобразования структурных схем. В программе должно быть предусмотрено раскрытие скобок, приведение подобных членов и вычисление коэффициентов по убывающим степеням производной. Некоторые коэффициенты элементарных звеньев малы (как правило, всегда меньше единицы), поэтому возникает опасность превращения в машинный нуль старших коэффициентов характеристического уравнения.

При исследовании системы по уравнениям переменных состояния часто возникает необходимость многократного построения характеристического уравнения по исходным матрицам коэффициентов. Задача является частью полной проблемы собственных значений и известна также как проблема построения векового уравнения. Для того чтобы обойти многочисленные трудности, в течение десятилетий создавались различные приемы и методы, подробно изложенные в [15].

В задачах анализа и синтеза автоматических систем часто имеется определенная специфика, не позволяющая в полной мере воспользоваться стандартными программами, в основу которых положены известные методы. Одна группа методов (А. М. Данилевского, А. Н. Крылова, Хессенберга, Са-муэльсона и др.) чувствительна к частным особенностям ма-

трицы, например к провалам , т. е. к вырождению (в смысле машинной точности) промежуточных определителей. Другая (методы, основанные на идее Леверье) не учитывает быстрый рост погрешности на высоких порядках вследствие накопления ошибок округления, что ограничивает размерность решаемых задач.

Прямые корневые методы, базирующиеся на построении характеристического полинома, также чувствительны к накоплению ошибок округления. Применение их для исследования линейных систем порядка п 20 показало, что накопление ошибок округления при построении характеристического полинома и последующее применение корневых методов синтеза часто приводили к совершенно неправильным результатам. Устойчивые системы при определенных сочетаниях параметров трактовались как неустойчивые и, наоборот, неустойчивые рассматривались как устойчивые. Многолетние исследования показали, что при принятой длине разрядных сеток отечественных ЦВМ граница надежной применимости метода Ньютона (и его модификаций) составляет п 20. Если ft> 20, результаты также получаются, но неопределенность в результатах увеличивается. Они могут быть сильно искажены ошибками округления.

Особенно значительное накопление ошибки проявляется при сильной связи корней полинома с его коэффициентами. Показателен следующий простой пример [И]. Полином S* - + (6 - 49-10-*) - 4s + 1 отличается от полинома (s - 1)* только коэффициентом при s*. Характерно, что это различие весьма незначительно, всего 49-10-*. Однако если все четыре корня второго полинома равны единице, то у первого полинома корни таковы: s = 1,02681; = 0,97389; 3,4 = 0,99965 ± 0,026455. Это значит, что сравнительно незначительное изменение коэффициентов (всего на 49-10-*) приводит к существенному изменению корней (уже на 0,03). При степенях полинома порядка 20 и выше может наступить качественное искажение результатов.

Отметим еще одну особенность. Не все традиционные методы теории автоматического управления одинаково хорошо приспособлены к машинной реализации. Затруднения встречаются при реализации D-разбиения, частотных методов, формировании передаточных функций по структурным схемам.

Ценность £)-разбиения как метода построения границ области состоит в том, что метод не требует какой-либо направленной процедуры для нахождения первой точки грани-