Рис. 3.30

Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различных технологических процессах, когда материал перемещается из одной точки в другую с помощью ленточных транспортеров; в системах регулирования толщины листа при прокатке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.

Системы автоматического управления, содержащие хотя бы одно запаздывающее звено, называют системами с запаздыванием. Процессы в системах с запаздыванием описываются дифференциально-разностными уравнениями.

Во многих тепловых процессах, а также прн передаче сигналов на расстояние ло длинным электрическим, гидравлическим и другим линиям наблюдается запаздывание, распределенное по всей дайне линии, которое в отличне от чистого запаздывания приводит к искажению передаваемых сигналов. Системы, содержащие звенья с распределенным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях в результате решения указанных уравнеинй в частных производных с учетом граничных условий после некоторых упрощающих предположений дая системы автоматического управления в целом получают дифференциально-разностные уравнения такого же типа, как и для систем с чистым запаздыванием.

На практике широко применяют аппроксимацию передаточных функций сложных систем с распределением параметрами с помощью передаточных функций систем с сосредоточенными параметрами и эквивалентных постоянных времени чистого запаздывания. Иногда сложные системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами, содержащие большое количество инерционных звеньев, также можно заменить для приближенного исследования более простой системой низкого порядка, но содержащей звенья с чистым запаздыванием.

В дальнейшем будем рассматривать только системы с чистым запаздыванием.

Структурная схема одноконтурной системы автоматического управления, содержащей одно запаздывакмцее звено, может быть представлена либо так, как показано на рис. 3.30, а, если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так, как показано на рис. 3.30, б, если запаздывающее звено находится в цепи обратной связи.

Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыванием равна

(S) = UJ3a (s) W (s) .= e- (3.95)

У (S)

где W (s) = R (s)/Q (s) - передаточная функция разомкнутой системы без учета запаздывания, представляющая собой Дробно-рациональную функцию оператора s.

Заметим, что если в одноконтурной системе имеется несколько последовательно соединенных запаздывающих звеньев, то они могут быть заменены одним запаздывающим звеном с эквивалентной постоянной времени запаздывания, равной сумме всех постоянных времен запаздывания.

Если запаздывающее звено находится в прямой цепи, то передаточная функция замкнутой системы

Vg.iP) = = = (s)/D. (s). (3.96а)

\+W.,(s) Q(s)+i?(s)e-

Если же запаздывающее звено находится в цепи обратной связи, то передаточная функция замкнутой системы

W (s)-.-.-Ш-ЛШ.. (3.966)

Из (3.96а) и (3-966) видно, что независимо от места включения запаздывающего звена характеристическое уравнение системы с запаздыванием иет вид

D(s)=(3(s) + /?(s)e-=0. (3.97)

Это характеристическое уравнение из-за наличия множителя е~* является не полиномом, а трансцендентной функцией оператора s и в отличие от обыкновенного алгебраического уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как

е-.г1 + ---- + ...,

то (3.97) можно рассматривать как уравнение бесконечной степени .

Для того чтобы линейная система с постоянным запаздыванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (3.97) были левыми. Нахождение корней уравнения (3.97) затрудните.шьно, поэтому для исследования

устойчивости систем с запаздыванием используют критерии устойчивости.

Следует иметь в виду, что алгебраические критерии устойчивости Рауса и гурвица в их обычной форж для исследования систем с запаздыванием непригодны, причем для устойчивости линейных систем первого и второго порядков с запаздыванием только положительности коэффициентов характеристического уравнения уже становится недостаточно. Существуют различные алгебраические критерии устойчивости для систем с запаздыванием, которые являются аналогами критериев Рауса и Гурвица, однако в инженерной практике они широкого применения не нашли из-за их относительной сложности.

Для исследования устойчивости систем с запаздыванием можно применять основанные на принципе аргумента частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста либо метод О-разбиения.

Уравнение кривой (годографа) Михайлова системы с запаздыванием получают после подстановки s = /со в характеристическое уравнение (3.97), т. е.

Dx (/to, е>< = Q (/со) + R (/со) е-/< = 0. (3.98)

Наличие в (3.98) множителя е-- делает очертания кривой Михайлова достаточно сложными, и формулировка этого критерия для систем с запаздыванием становится не такой простой, как для обычных систем. Как показал Я- 3. Цьшкин, для исследования устойчивости систем с запаздыванием очень удобно применять критерий устойчивости Найквиста.

Заключение об устойчивости замкнутой системы с запаздыванием делается на основании исследования поведения амплитудно-фазовой характеристики Wx (/со) разомкнутой системы с запаздыванием относительно точки (-1, /0). Формулировка критерия устойчивости Найквиста для систем с запаздыванием в этом случае аналогична формулировке для обычных систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции.

Частотную передаточную функцию Wt (/to) разомкнутой системы с запаздыванием находят, подставляя s == /со в (3.95):

VT/,: (/со) = 1Г (/со) е-/* = Л (со) е/*< > е- =

= Л(со)е*< *. (3.99)

где W (/со) = (/ (со) -Ь /V (со) - амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;