Относительно новых коэффициентов уравнение записывается в виде

a6S + ai£ ~+ ... + =0. . Коэффициенты о, а суть

где k - номер коэффициента; С - число сочетаний по к - i из п - i.

Формула для Ск может быть представлена так:

у (-I)*---(-il!-fi,n*-.-.

Отрицательным значениям величины tj соответствует смещение прямой S = If] вправо, а положительным - влево.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение трет тьего порядка. Сместим его влево на величину степени устоит

ЧИВОСТИ IfJ. Вычислим коэффициенты Ок-

Имеем:

Со = а ; = - Зсо 114-%; = Зяо ri-2а,т1 + aj

3 = - о + 1П® - 2 Г) + Оз-Если характеристическое уравнение записать в виде

fl s + a iS -!-ffl .s -2 + ...+ao= J] CjsG,

то коэффициенты смещенного уравнения вычисляются по видр-. измененной формуле

где Сп-число сочетаний из п по т (i = п, п- 1, 0).

Отметим, что в некоторых задачах, например при направленном выходе в область устойчивости критерий Рауса ис-

пользовать затруднительно, так как он не позволяет ввести количественную меру. (Это, впрочем, относится и к другим критериям, в которых используется принцип ДА-НЕТ). В качестве такой количественной меры, например, может быть использована вещественная часть ближайшего к мнимой оси собственного числа Res, ax- Величина Re sax является непрерывной, хотя и негладкой, функцией параметров. Если задана область допустимых значений параметров, то возможно из неустойчивой точки направленно выйти на границу области устойчивости. Применение критерия Рауса в такой ситуации приводит к тактике прямого перебора, хотя в силу экономичности критерия это часто оказывается оправданным

§ 6.3. Функционально-преобразованные матрицы и их применение. Критерий В. И. Зубова

Рассмотрим систему

x = Ax4-F(), (6.7

где А - матрица коэффициентов размерности п X п; F (/) - вектор-функция внешних воздействий (п X 1).

Пусть на плоскости комплексного переменного s задана некоторая область D, соответствующая различным случаям-расположения спектра S; исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7). Область D может быть произвольной частью плоскости S, в том числе левой полуплоскостью или некоторой заданной частью ее. Обозначим совокупность всех матриц порядка п, спектр которых находится внутри области D, через А.

С другой стороны, пусть на плоскости комплексного переменного р задан круг радиуса г с центром в начале координат. Обозначим через Bp совокупность всех матриц порядка п, спектр которых pj находится внутри круга радиуса

IPiK г, i = 1..... п.

Допустим, что существует оператор L, устанавливающий взаимно однозначное соответствие двух множеств: А и Bp. Если А G As, то оператор L (А) от матрицы А есть такая матрица порядка п, что L (А) £ Bp.

Таким образом, оператор L, воздействуя на любую матрицу А, взятую из множества А, переводит ее спектр в множество точек, содержащихся в множестве Bp. Это значит, что все собственные числа рг матрицы В = L (А) будут принадлежать кругу радиуса г с центром в начале координат.

Эту задачу можно интерпретировать так. Требуется указать такую аналитическую функцию р = / (s), которая переводила бы границы множества А на границы множества Bp. Тогда если спектр исходной матрицы А лежит внутри области D то спектр матрицы В в результате функционального преобразования будет расположен в круге радиуса г с центром в начале координат.

Чтобы найи условия принадлежности спектра матрицы А области D, требуется указать простые в алгоритмическом отношении условия нахождения спектра матрицы В в круге. Если спектр g D, то необходимо и достаточно, чтобы наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы В было по модулю меньше величины г. Если г = 1, то

l/(s)-IPii<l

и в этом случае оценка выполняется относительно единичного круга с центром в начале координат. Тогда, для того чтобы Si D, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось условие

lim [L(A)]=0,

где о - нулевая матрица.

Аналитическая функция р = / (s) может иметь различную структуру и отображать ббласть заданного расположения спектра Si исходной матрицы А не только на единичный круг с центром в начале координат, но и на области, ограниченные алгебраическими кривыми высших порядков, вложенными в единичный круг.

Отображение областей расположения спектра матрицы А на круг с центром в начале координат или на фигуру, вложенную в круг , позволяет решить задачу устойчивости линейных систем по исходной матрице А без определения коэффициентов - характеристического уравнения. Различные отображения приводят к различным функциональным преобразованиям матриц. Основы метода функционально-преобразованных матриц были заложены В. И. Зубовым в 1959 г. [7].