называют частотной переааточной функцией, частотная передаточная функция является комплекснозначной функцией от действительной переменной о, которая называется частотной. Функцию W (jio) можно представить в виде

W (70)) = [/(©) + jV (ю) = А (о) effiy, (2.20)

Л(о)) = 1/1/ ( ) + 2( ), Ф (О)) = arg IF (/со).

Если (argH7(/co)<n/2, то

ф( .) = агс1еК.

(2.21)

(2.22)

На комплексной плоскости (рис. 2.3) частотная передаточная функция W (/(о) определяет вектор ОС, длина которого равна А (о)), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - ф (о). Кривую, кото)ую описывает конец этого вектора при изменении частоты от О до оо (иногда от - оо до оо), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотную передаточную функцию будем называть также амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную часть и (ш) = Re IF (/<о) и мнимую часть V (о) = ImW (/ю) будем называть соответственно вещественной и мнимой частотной функцией. График вещественной частотной функции [кривая зависимости U = U (to)] называют вещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции- мнимой частотной характеристикой.

Модуль А (ю) = \W (/ю) I называют амплитудной частотной функцией, ее график - амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент ф (fi))=arg W (/о) называют фазовой частотной функцией, ее график - фазовой частотной характеристикой.

Кроме перечисленных частотных характеристик ис- Рис, 2.3

пользуют еще логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию

L <ю) = 20 Ig Л (е,) = 20 lg\W (/ >)1

логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L ((d) от логарифма частоты (Igfi)) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствукхцей значению IgCD, пишут само значение ю, а ие значение Igto, а по оси ординат - L (о)). Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции ф (о) от логарифма частоты Ig со. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению Igo, пишут значение ю.

Единицей L (ю) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ - декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку = 0. Частоте w = О соответствует бесконечно удаленная точка; Ig ю- - - оо при ю -0.

Рассмотрим, какой физический смысл имеют частотные характеристики и как можно построить их экспериментально. Найдем математическое описание вынужденного движения системы при подаче на ее вход гармонического воздействия, например

ы = Ыт cos &t. (2.23)

Для этого решим уравнение (2.17), подставив в правую часть выражение (2.23). Общее решение имеет вид

У it) = Ус if) + У. if) (2-24)

где /о - общее решение однородного уравнения, & у - частное решение неоднородного уравнения.

Составляющая Ус if) определяет свободные движения (переходный процесс). В устойчивых системах она со временем затухает: ус (t) -*-0 при t-oo. Вынужденное движение описывается частным решением Ув (О- Чтобы найти его, предста-

вим входное воздействие (2.23) с помощью формулы Эйлера в виде суммы:

== т-- = 1+Й2,

uj=lie/ , ue-i. (2.25)

Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2.17) можно также представить в виде суммы у = yi + у, где Ух - решение при и = Ux, & у - решение йри ы- = щ. Найдем отдельно каждое из этих решений. Подставим выражение для Ui в правую часть уравнения (2.17) вместо и. Так как

pui = ре == (/ )) е/ = (/(о)

(2.26)

: rth-=P (P l) = Р (/fi> i) = (/со) Ml....,

уравнение (2.17) примет вид

{Оо р -Ьfli р - + ... + с ) t/i + [fro (/со) + bi (/со) - +

+ + (2.27)

Частное решение последнего уравнения будем искать в виде

У1 = Л 1 = Ле/ >, (2.28)

где А не зависит от времени. При подстановке этого выражения в (2.27) получим

[Со (/ ) + 1 (/ > + +а ] Л 1 = [&о (/ю) + -b6i(/co) - ++

откуда

д fee(/<o) +fci(/cor~ + ...+fem

Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточной функцией (2.19) рассматриваемой системы:

= Ц7 (/м) = Л (со) е/<1< ).