Главная страница  Векторные методы процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

называют частотной переааточной функцией, частотная передаточная функция является комплекснозначной функцией от действительной переменной о, которая называется частотной. Функцию W (jio) можно представить в виде

W (70)) = [/(©) + jV (ю) = А (о) effiy, (2.20)

Л(о)) = 1/1/ ( ) + 2( ), Ф (О)) = arg IF (/со).

Если (argH7(/co)<n/2, то

ф( .) = агс1еК.

(2.21)

(2.22)

На комплексной плоскости (рис. 2.3) частотная передаточная функция W (/(о) определяет вектор ОС, длина которого равна А (о)), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) - ф (о). Кривую, кото)ую описывает конец этого вектора при изменении частоты от О до оо (иногда от - оо до оо), называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотную передаточную функцию будем называть также амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную часть и (ш) = Re IF (/<о) и мнимую часть V (о) = ImW (/ю) будем называть соответственно вещественной и мнимой частотной функцией. График вещественной частотной функции [кривая зависимости U = U (to)] называют вещественной частотной характеристикой, а график мнимой частотной функции- мнимой частотной характеристикой.

Модуль А (ю) = \W (/ю) I называют амплитудной частотной функцией, ее график - амплитудной частотной характеристикой.

Аргумент ф (fi))=arg W (/о) называют фазовой частотной функцией, ее график - фазовой частотной характеристикой.

Кроме перечисленных частотных характеристик ис- Рис, 2.3

) им

\ V((S)



пользуют еще логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию

L <ю) = 20 Ig Л (е,) = 20 lg\W (/ >)1

логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции L ((d) от логарифма частоты (Igfi)) называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе: на отметке, соответствукхцей значению IgCD, пишут само значение ю, а ие значение Igto, а по оси ординат - L (о)). Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой частотной функции ф (о) от логарифма частоты Ig со. При его построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению Igo, пишут значение ю.

Единицей L (ю) является децибел, а единицей логарифма частоты в ЛЧХ - декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.

Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку = 0. Частоте w = О соответствует бесконечно удаленная точка; Ig ю- - - оо при ю -0.

Рассмотрим, какой физический смысл имеют частотные характеристики и как можно построить их экспериментально. Найдем математическое описание вынужденного движения системы при подаче на ее вход гармонического воздействия, например

ы = Ыт cos &t. (2.23)

Для этого решим уравнение (2.17), подставив в правую часть выражение (2.23). Общее решение имеет вид

У it) = Ус if) + У. if) (2-24)

где /о - общее решение однородного уравнения, & у - частное решение неоднородного уравнения.

Составляющая Ус if) определяет свободные движения (переходный процесс). В устойчивых системах она со временем затухает: ус (t) -*-0 при t-oo. Вынужденное движение описывается частным решением Ув (О- Чтобы найти его, предста-



вим входное воздействие (2.23) с помощью формулы Эйлера в виде суммы:

== т-- = 1+Й2,

uj=lie/ , ue-i. (2.25)

Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2.17) можно также представить в виде суммы у = yi + у, где Ух - решение при и = Ux, & у - решение йри ы- = щ. Найдем отдельно каждое из этих решений. Подставим выражение для Ui в правую часть уравнения (2.17) вместо и. Так как

pui = ре == (/ )) е/ = (/(о)

(2.26)

: rth-=P (P l) = Р (/fi> i) = (/со) Ml....,

уравнение (2.17) примет вид

{Оо р -Ьfli р - + ... + с ) t/i + [fro (/со) + bi (/со) - +

+ + (2.27)

Частное решение последнего уравнения будем искать в виде

У1 = Л 1 = Ле/ >, (2.28)

где А не зависит от времени. При подстановке этого выражения в (2.27) получим

[Со (/ ) + 1 (/ > + +а ] Л 1 = [&о (/ю) + -b6i(/co) - ++

откуда

д fee(/<o) +fci(/cor~ + ...+fem

Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточной функцией (2.19) рассматриваемой системы:

= Ц7 (/м) = Л (со) е/<1< ).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

© 2000 - 2018 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.