Заметим, что корни характеристического уравнения Sj зависят только от вида левой части дифференциального уравнения (3.21) линейной системы. Постоянные интегрирования Cj зависят и от вида правой ее части, поэтому быстота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения (3.21). Однако, поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (3.21) и определяется только характеристическим уравнением (3.27).

При составлении (3.21) предполагалось, что внешние возмущающие воздействия отсутствуют. Если записать дифференциальные уравнения движения системы относительно возмущающего воздействия, то в этом случае левая часть (3.21) остается без изменения, а правая будет иметь другой вид. Так как характер переходного процесса в линейной системе определяют только по виду левой части дифференциального уравнения (3.21), то для определения качественной картины переходных процессов лрактйчески безразлично, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия.

Вещественным корням характеристического уравнения sj = г в (3.29) соответствуют слагаемые, представляющие собой экспоненты

С,е

Очевидно, что отрицательным (левым) корням а; < О соответствуют затухающие экспоненты (рис. 3.S, а), положительным (правым) корням Kj > О - возрастающие экспоненты (рис. 3.5, б) и при нулевых корнях £ = О слагаемые представляют собой прямые, параллельные оси времени (рис. 3.5, в).

Комплексные корни характеристического уравнения-всегда бывают попарно сопряженными: Sj = at /сй£ и s,-+i = к - /ь>г. Слагаемые, определяемые этими корнями в (3.29), могут быть при

использовании известной формулы Эйлера е*** = cos coj l± ±/ sin (Oil представлены в виде Cje -f Ct+i e* =

= Ле sin (coj t + ii), где Ai и if - новые постоянные.

В этом случае при aj < О получаются затухающие колебания (рис. 3.5, г), при г > О - расходящие колебания (рис. 3.5, д) и при aj = О - незатухающие колебания (рис. 3.5, е). Для устойчивости и в этом случае необходимо выполнение условия кг < 0. В самом общем случае среди норией характеристического уравнения (3.27) могут быть кратные корни. Если имеется г кратных корней Sj, то в (3.29) появятся слагаемые вида

(Q, г-1 + +Сн t+Cit) eV,

Если корень Sj => г ± /coj имеет отрицательную вещественную

часть aj < О, то множитель е будет с течением времени убывать. Множитель в скобках неограниченно растет, поэтому мы имеем неопределенность ор-0. Однако известно, что ебыстрее стремится к нулю, чем выражение C,-,r-i поэтому при aj < О эта группа слагаемых с течением времени также стремится к нулю.

Система i/cmouvuda limxcsd) Oi

Xi=Aie*SLnfwit*Vi)

Система неустойчива Рис. 3.5

Система нейтротна

Таким образом, видно, что в самом общем случае для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3-27) были левыми.

Вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степеней. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней, но эти выражения громоздки и практически малопригодны. Общие выражения для корней уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. С помощью критериев устойчивости можно не только установить, усгойчива система или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные. С математической точки зрения все крите-

рии устойчивости эквивалентны, однако целесообразный вы-ор того или иного критерия устойчивости при решении конкретных задач позволяет провести исследование устойчивости наиболее простым путем.

§ 3.5. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения

D(s)==aoS -baiS -4-...+a ==0. (3.30)

Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица.

Прежде чем познакомиться с ними, заметим, что необходи-мьш условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (3.30):

flo > 0; % > 0; g > 0. (3.31)

Действительно, в соответствии с теоремой Безу уравнение (3.30) можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни s, .....s :

о (s - Si) (s - ... (s - s ) = 0. (3.32)

Если все корни характеристического уравнения будут отрицательны, то все множители выражения (3.32) будут иметь вид

о (S +. lail) (S + М... (S + KI) = 0. (3.33)

где Si - - aj I - значения корней.

Производя перемножение в (3.33), получим (3.30), в котором все коэффициенты будут определяться положительными членами а; выражения (3.33), т. е. будут положительны.

,Если характеристическое уравнение (3.30) имеет комплекс-ribie корни с отрицательными вещественными частями, то оно может быть представлено в виде

о (s + KD (S + aal - /Иг) (s + Kl + / г)--- (s + + a ) = 0