при непрерывном изменении т (а также других параметров системы) является характерной особенностью многих систем с постоянным запаздыванием.

Обычно для повышения быстродействия и точности системы время запаздывания т стремятся уменьшить, поэтому-кри-терий устойчивости формулируется лишь для минимального времени запаздывания.

Система автоматического управления будет устойчива, если время запаздЬсвания г меньше минимального критического времени запаздывания: т < т р i.

Критическое время запаздывания легко определяют и в том случае, когда для исследования системы с запаздыванием применяют логарифмические амплитудно-частотные (ЛАХ) и фазочастотные (ЛФХ) характеристики. В этом случае окружность единичного радиуса представляют осью абцисс. ЛАХ системы с запаздыванием совпадает с ЛАХ исходной системы без запаздьшания. Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении ЛФХ системы с запаздыванием, определяют из (3.100). Точки пересечения ЛАХ с осью абсцисс определяют критические частоты солф, а запасы по фазе (с учетом кратности), отнесенные к соответствующим критическим частотам, определяют критические времена запаздывания

Звенья с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных, имеют иногда передаточные функции вида

W{5)=K/V, . (3.106)

w(s) = K/ii+V); (3.107)

W(s)e-\ (3.108)

где К - коэффициент усиления звена.

Выражения (3.106) и (3.107) отличактся от передаточных функций интегрирующего и инерционного звеньев (см. § 2.6) только квадратным корнем. По аналогии с интегрирующими и инерционными звеньями такие звенья называют полуинтегрирующими и полуинерционными. Звенья, имеющие передаточные функции вида (3.106), (3.107), (3.108), называют ир-рациональньши звеньями. Выражение (3.108) не только иррационально, но и трансцендентно. С иррациональными звеньями приходится встречаться, рассматривая различные диффу-

зионные и тепловые объекты, линии связи с потерями, с распределенными сопротивлениями и емкостями и т. п.

Устойчивость замкнутых систем автоматического управления, содержащих иррациональные звенья, может быть исследована с помощью критерия устойчивости Найквиста. Формулировка критерия устойчивости Найквиста в этом случае аналогична формулировке для обычных систем автоматического управления, содержащих звенья с дробно-рациональньми передаточными функциями.

§ 3.10. Устойчивость нестационарных систем

Линейньши системами с переменными параметрами или нестационарными системами (см. § 2.9) называют системы, процессы в которых описыва5отся линейными дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами

[ о (О Р + 1 (О Р + . + (01 (О = [Ь (О h it) Р - + ... +bm (01 g (0. (3.109)

где X {t) VI g (О - выходная и входная величины системы соответственно; Ui (О, bi (О - переменные коэффициенты, являющиеся известными функциями времени и задаваемые либо графически, либо аналитически; р = dIdt - - символ дифференцирования.

Для нестационарных систем понятие устойчивости имеет некот9рую специфику. Действительно, если предположить, что входная величина системы g (t) = g ~ const и к моменту времени переходные процессы в системе закончились, т. е. если принять р = dIdt = О, то из (3.109) для t>ti имеем

х(0 = о. - (3.110)

Из (3.110) видно, что в зависимости от характера изменения коэффициентов а! (t) и fc , (t) в нестационарной системе даже прн постоянной входной величине выходная величина может изменяться неограниченно долго. Так как время работы реальных систем ограничено, что установившегося значения

в нестационарной системе за время ее работы не наблюдается и поэтому понятие асимптотической устойчивости (см. § 3.2) практически теряет свой смысл.

Существуют точные методы исследования устойчивости нестационарных систем, но они довольно сложны и на практике .обычно пользуются приближенными методами. Наиболее простым приближенным методом исследования устойчивости нестационарных систем является метод замораживания коэффициентов. Он может применяться в тех слу- чаях, когда нестационарная система работает в течение ограниченного интервала времени Т, а коэффициенты уравнения (3.109) за время протекания переходного процесса в системе изменяются относительно мало. В соответствии с этим методом для некоторого фиксированного значения времени t = tk определяют соответствующие ему значения а,- (tk) и Ь,- (4) коэффициентов дифференциального уравнения (3.109), заменяют исходную нестационарную систему некоторой фиктивной стационарной системой и исследуют устойчивость последней, применяя один из рассмотренных выше критериев устойчивости. Если полученная таким образом стационарная система устойчива, то считают, что исследуемая нестационарная система тоже устойчива в рассматриваемый момент времени. Затем проводят аналогичное исследование устойчивости для других фиксированных моментов времени, лежащих в интервале О < f Т, где 7 - время работы системы. - Если во всем рабочем интервале времени Т условия устой-чиводти стационарной системы, получаемой методом замораживания коэффициентов, выполняются, то исходную нестационарную систему на этом интервале считают устойчивой.

Следует заметить, что результаты, получаемые при исследовании устойчивости нестационарных систем методом замораживания коэффициентов, не являются вполне достоверньши, поскольку сам этот метод не имеет какого-либо математического обоснования. Степень достоверности будет тем выше, чем мен]5(ше изменяются коэффициенты за время протекания переходного процесса.

Эффективность рассматриваемого метода может зависеть от правильного выбора фиксированных моментов времени, для которых замораживаются коэффициенты.. Необходимо так выбирать эти моменты, чтобы .охватить все возможные варианты значений коэффициентов, обратив особое внимание на опасные точки, в которых происходит значительное изменение коэффициента, смена его знака и т. п.