Параметрическую передаточную функцию можно отыскать, пользуясь ее определением (2.100), если известна весовая функция. Но проще ее можно определить по дифференциальному уравнению.

Пусть нестационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением

Q{p,t)y it). = R (р, t) и (t),

Qip, t) =flo(0 + fli (0p - -I- ... + fln (0.

R(p, t) = bo(t)+ by(t)p -. + ... -f fe, (0-

Тогда ее параметрическая передаточная функция подчиняется дифференциальному уравнению

+ -!-i!t=R(s,0, (2.105)

ds dt

Q=Q(s,/)-ao(0s + ai(0s - + ...+a (0; ] 106) R [s, t) - bo (t) s + by (f) s - -b... -f 6 (/) I

Дифференциальное уравнение (2.105) для параметрической передаточной функции имеет такой же порядок, что и дифференциальное уравнение системы. Него решение так же сложно, как и решение исходного уравнения. Поэтому рассмотрим один из приближенных методов решения уравнения (2.105). Перепишем его в следующем виде:

Q (S, t) W (S, t) R (s, t) + N {W (s, /)}, (2.107)

yV{\(s, 0} = -+ ...+

ds dt 2! ds dt I d Q dW

(2.108)

n! ds - dt Решение будем искать в виде ряда

U7 (S, t), == Wo (s, t) + Wy (s, 0 + -В качестве нулевого приближения примем

Wois, О = (S, t)/Q(s, t). (2.109)

Это будет передаточной функцией системы с замороженными коэффициентами. Для вычисления первой поправки W (s, О подставим в правую часть уравнения (2.107) полученное нулевое приближение, а в левую часть - сумму нулевого приближения и первой поправки. Тогда для Wi (s, t) получим

IFi (s, t) = N {Wo (s. t)}/Q (s, t). (2.110)

Аналогично для i-й поправки получим

Wt (s, t) - N {Wiy (s. f))lQ is, t). (2.111)

Пример 2.9. Найдем параметрическую передаточную функцию нестационарной системы, которая описывается уравнением

аоу->г {ai+at) y=buU.

В данном случае

Q (S, О = ао 4- 1 -1- at\ R (s, t) ba; dQ/ds ас,; dQlds - O, .. Уравнение (2.107) принимает вид

(aos + ai + at) W {s, 0 6o + -V { 7 (s. t)},

где yV {Г (s, 0} = aodW/dt.

Для нулевого приближения и первой поправки на основании (2.109) и (2.ПО) можем записать

Wo (s, t) - bo/(aoS + oi + at); Wi (s, t) = cutobo/iaos + Ui + atf.

Пользуясь (2.II I), можно вычислить последующие поправки. Но если а мало, то можно ограничиться только первой поправкой и тогда

(aoS + Oi-l-aO

Квазистациоиарные системы. Если коэффициенты уравнения (2.92) нестационарной системы изменяются медленно то такую систему называют 1Свазистац1юнарной. При описании квазистационарных систем широко используют метод замороженных коэффициентов. Этот метод является приближенным, и основан он на замораживании коэффициентов: в уравнении нестационарной системы переменные коэффиценты аДО и bi {t) заменяются постоянными коэффициентами Ot (f) и bi (f), равными значениями исходных коэффициентов в какой-либо фиксированный момент времени t. Передаточная функция системы с замороженными коэффициентами равна нулевому приближению (2.109) передаточной функции нестационарной системы при фиксированном времени t = t.

Принимается что коэффициенты уравнения нестационарной системы изменяются медленно (система квазистационарна), если за время переходного процесса они изменяются незначительно. Здесь под временем переходного процесса понимается минимальное время; по истечении которого (с момента приложения единичного импульса) абсолютные значения весовой функции системы с замороженными коэффициентами не превышают некоторой заданной достаточно малой положительной величины.

Если промежуток времени, на котором рассматривают процесс квазистационарной системы, является большим, то изменения коэффициентов ее уравнения могут быть значительными. Тогда при использовании метода замороженных коэффицен-тов весь промежуток времени разбивают на несколько интервалов и на каждом интервале систему описывают уравнениями с постоянными коэффициентами, равными значениям переменных коэффициентов в какой-либо момент времени из рассматривает мого интервала.

Формула Коши. В нормальной форме Коши уравнения одномерной или многомерной нестационарной линейной системы в общем случаеимеют вид

п mj i

/= 1 /=1 /=1

(2.112)

или в матричной записи

x = A(Ox + B(Ou-bC(0f. (2.113)

Здесь X обозначает фазовый вектор, и - вектор управления или задающего воздействия, f - вектор возмущающих воздействий.

Пусть Ф (О обозначает фундаментальную матрицу уравнения

i A(Ox, (2.114)

т. е. матрицу, столбцы которой образуют п линейно независимых решений уравнения (2.114). Тогда матрица

х( д=Ф(ОФ-Мо)

является нормированной фундаментальной матрицей. Если известна фундаментальная матрица X{t, fo)i решение (2.113)