Таким образом, непосредственное развертывание характеристического определителя и приведение его к виду (6.6) эквивалентны вычислению

АА + А + ...+Д = 2 -1

определителей различных порядков. Для больших значений п эта задача требует большого объема вычислительной работы. В связи с этим были разработаны специальные методы развертывания характеристического определителя минуя вычисление многочисленных диагональных миноров (методы Данилевского, Крылова, интерполяции, Леверье-Фаддеева и др.).

Одним из самых экономичных с точки зрения количества операций является метод А. М. Данилевского. Сущность его состоит в приведении определителя

A-sE =

21 22-S ... 2n

a i a 3 ... G -s к так называе?/юму нормальному виду Фробениуса

Oi-S 1 О

2 ... а -S ...О О 1 О О

О 1 -S

Развертывание определителя, записанного в нормальном виде Фрсениуса, не представляет затруднений. Разлагая определитель по элементам первой строки, получим характеристический полином

( 1) (sn 4-Й1 s -Ч- 2 s -2 +... + aJ.

Легко убедиться, что элементы первой строки матрицы Фробениуса суть коэффициенты характеристического полинома. При вычислении на мапшне коэффициентов характеристического полинома целесообразно производить частичную проверку правильности вычисленных коэффициентов, контролируя выполнение соотношения

1 = ац + 22 ++ = Sp А.

Несмотря на экономичность, метод чувствителен к вырождению (обращению в нуль) промежуточных определителей.

Метод, предложенный А. Н. Крыловым, заключается в предварительном преобразовании уравнения

в эквивалентное ему

D(s)

(p(s) = A~sE

bu-s bi ...bin bii-s b,s.... b.n

b i-s br ... b n

развертывание которого по степеням s осуществляется значительно проще, так как определитель можно разлагать по минорам первого столбца. Метод чувствителен к вырождению определителей и имеет меньшую точность вычисленных коэффициентов.

Нечувствителен к вырождению определителей метод Леве-рье-Фаддеева. Расчетная схема состоит в построении последовательности

Ai = A; ai = SpAi; Ci = Ai-аЕ; A2 = ACi; С2 = 5рАг,/2; СА-аЕ;

А = AC .i; а == Sp A /n; С = А -а Е.

Полученные величины а представляют собой ко-

эффициенты характеристического полинома

A(s) = ( -1) А-sE = s + fl;iS - + ... + а .

Отметим, что попутно с вычислением коэффициентов характеристического полинома может быть построена обратная матрица А * = C i/a . Практически метод сводится к п-кратному перемножению матриц порядка п. Число операций умножения составляет около (п - 1) п*.

При реализации этого метода на ЦВМ в случае операций с матрицами высокого порядка может происходить переполнение разрядной сетки, что вызывает необходимость введения масштабирования; при вычислении последовательности матриц С происходит накопление ошибки при округлениях, которое с увеличением порядка матрицы увеличивается, так как

происходит пропадание последних значащих цифр ввиду вычитания очень близких друг к другу величин. Это приводит к тому, что при больших порядках матрицы А коэффициенты ха-рактеристичесгсого полинома оказываются вычисленными с пониженной степенью точности. Накопление ошибки начинается с 7-8-го порядка и в дальнейшем увеличивается с ростом п.

Если задана структурная схема системы и имеются передаточные функции отдельных звеньев, то определение передаточной функции ведется по обычным правилам структурных преобразований схем и построение характеристического полинома не таит в себе принципиальных трудностей. Однако при ручных расчетах это связано с утомительными выкладками, которые могут являться источником ошибок. При постановке задачи на ЦВМ передаточные функции отдельных звеньев представляются полиномами не выше второго порядка. Характеристический полином системы может быть записан в виде

Программа должна предусматривать раскрытие скобок и приведение подобных членов.

Перспективно построение передаточной функции с помощью топологических методов.

Реализация на ЦВМ этих методов излагается в специальной литературе.

В настоящее время для оценки расположения корней характеристического уравнения относительно мнимой оси существуют критерии Рауса, Гурвица, Льенара-:Шипара, Михайлова, Найквиста, методы непосредственного вычисления корней (Ньютона, Мюллера, Берстоу). Для анализа устойчивости импульсных систем используется критерий Шура- Кона. Все перечисленные критерии опираются на знание коэффициентов характеристического полинома.

Машинная реализация и сопоставление критериев показали, что наиболее простой, удобной в реализации и надежной является вычислительная схема Рауса. Критерий позволяет исследовать систему с учетом любой заданной степени устойчивости tj. При этом возникает задача формирования коэффициентов смещенного характеристического уравнения

Oo(s-4) + ai(s- !) ->-f... + fl =0.