Главная страница  Векторные методы процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Пример 2.1. Проиллюстрируем изложенное на примере звена, описываемого уравнением (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют

и = Н.; н = н*; / = /*; у=у*\ у = у*\ У=У*. (2.3)

Обозначим отклонения реальных значений и, f к у от требуемых через Аи, Д/ и Ау, т. е. Аи = и - и*, Д/ = / - /*, Ау ~ у - у*. Тогда и = и* + Аи; и ==и* + Аи; f = f* -\- Af; у = у* -\- Ay; у = = у* -\- Ау; у = у* + Ау. Подставим эти выражения в (2.1) и, рассматривая F как функцию от независимых переменных и, и, у, у и у, разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3) и отбросим малые члены более высокого порядка, чем отклонения. Тогда (2.1) примет вид

F* + (дР/ду)* Ау+ {дР/др* Ау+(дР/ду)* Ау+ (дР/ди)* Аи +

-\-(дР/ди)* Au+f*-\-Af = 0. (2.4)

Здесь звездочка сверху обозначает, что соответствующие функции и производные вычисляются при значениях аргумента, определяемых соотношениями (2.3). Когда в системе устанавливается заданный режим, уравнение (2.1) принимает вид f * + /* = 0. Вычтя это урав-ние из (2.4), получим искомое уравнение звена в отклонениях:

aoAy + Oi Ау-\-а2 Ау-Ь Аи - Ь Аи-Са А/ = 0, (2.5)

тле ао={дР/дуГ; а=={дР/ду)*; а=={дР/ду)*;

Ьо=- {дР 1ди)*; bi=- {дР/ди)*; Со = - 1.

Если время / явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме того, заданный режим является статическим - величины у*, и* и /* не зависят от времени, то коэффициенты линеаризованного уравнения (2.5) являются постоянными.

Звенья и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют соответственно линейными звеньями и линейными системами.

Уравнение (2.5) было получено при следующих предположениях: 1) отклонения выходной Ау и.входной Аи величин достаточно малы; 2) функция F обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то линеаризацию производить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.

Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически.



Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.2) означает замену исходной кривой А В отрезком ее касательной АВ в точке О, соответствующей заданному режиму, и параллельный перенос начала координат в эту точку.

В зависимости от того, входит или нет время явно в уравнение, системы разделяют на стационарные и нестационарные. Автоматические системы управления стационарными, если они при постояннвгх


Рис. 2.2

(звенья) называют внешних воздействиях описываются уравнениями, не зависящими явно от времени. Это означает, что свойства системы со временем не изменяются. В противном случае система называется нестационарной. Для линейных систем можно дать также следующее определение: стационарными линейными системами (звеньями) называют системы (звенья), которые описываются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарными линейными системами (звеньями) или системами с переменными параметрами - системы (звейья), которые описываются линейными уравнениями с переменными коэффициентами.

§ 2.2. Основные свойства преобразования Лапласа

В этом параграфе даны основные сведения о преобразовании Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Преобразованием Лапласа называют соотношение

X(s)= х(Ое- Л.

ставящее функции х (f) вещественного переменного в соответствие функцию X (s) комплексного переменного s{s = а-{-+/©). При этом X (t) называют оригиналом а X (s) - изобра-



жентм или изображением по Лапласу. То, что х Ц) имеет своим изображением X (s) или оригиналом X (s) является х (), записывается так:

x(t)X is) или Х (s) == X (t).

Иногда также пользуются символической записью

X (S) = L {X (t)},

где L - оператор Лапласа.

Предполагается, что функция х (t), которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами: X (t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [о, оо]; х (f) =0 при / <; 0; существуют такие положительные числа Мне, что д; () Же* при О <; с . Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами. Соотношение

2щ J

Со-/оо

X{s)etds,

определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Res == Oq > с. Символически обратное преобразование Лапласа можно записать так:

x{t)L- {X{s)},

где символ - обратный оператор Лапласа.

Остановимся на основных свойствах преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности. Для любых постоянных аир L {ах (t) + (t)} = aL {х, (t)} + pZ. {х (t)}.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная х (t) является функцией-оригиналом, т. е. обладает указанными выше тремя свойствами, то L {х (t)} = sX (s) -х (0), где

X(s) = L {х (t)}, х{0) = lim х (t). Если п-я производная х (t} является функцией-оригиналом, то

L л;(0}=8 Л(8)-8 -л;(0)-s -zx(0)-X (0),

(ft) (ft)

где х{0) =limx (/), k = 0,l,...,n - l.

t-*-i-o



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

© 2000 - 2018 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.