пример 3.11. Система автоматического управления описывается дифференциальным уравнением

Н P*+ai р +й2 (О Р+ з1 * (О = bog it).

(3.1П)

где Со = О, 1 с; 1 = 4,2 с ; (О = (72 - 0,10с; а = 400; = 400.

Оценить приближенно устойчивость системы, если время работы ее 7- = 100 с.

Рассмотрим систему с замороженными коэффициентами при = О и = 7= 100 с.

В этих случаях характеристическое уравнение, соответствующее исходному дифференциальному уравнению (3.II1), будет

O.lp + 4,2р2 + 72р + 400 = 0; 0,1рЗ + 4,2р + 62р 4- 400 = 0.

(3.112) (3.113)

Для (3.112) находим кории: pi = -10 c-i; pj-s = (-16 ± /12) c- . Степень устойчивости (см. § 4.5) ц = Ipil = 10 с~К Время переходного процесса <п < 31 = 0,33 с. Для (3.113) корни pi = -25 c-i; P2-S = (-± /*7) Степень устойчивости ij = 8,8 с- . Время переходного процесса 3t]-i = 0,34 с.

За время переходного процесса коэффициент (О изменяется иа величину Дсг ж 0,1-0,34 = 0,034, что составляет приблизительно 0,05 %. Следовательно, система может рассматриваться как квазиста-цноиариая. Оценка устойчивости может быть сделана методомзамораживания коэффициентов характеристического уравнения. Применяя критерий устойчивости Гурвица, имеем OjCz (О > ОоОз- Подстановка числовых значений дает 4,2 (72 - 0,10>40. Последнее неравенство выполняется в диапазоне времени О i Т. Следовательно, исходная нестационарная система устойчива.

В общем случае, когда коэффициенты уравнения (3.109) изменяются значительно, при исследовании устойчивости нестационарных систем пользуются понятиш технической устойчивости, или устойчивости на конечном интервале времени. Систему считают технически устойчивой (устойчивой на данном интервале ережни работы системы Т), если выходная величина х (t) не превосходит некоторой заданной величины Хдрп при OtT. Допустимое значение величины Хдоц выбирается в каждом конкретном случае из технических соображений.

На рис. 3.34 показаны возможные графики изменения х (t) для нестационарных систем. Крпше I к 2 соответствуют тех- Рис. 3.34

нически устойчивой системе, а кривые 3 я 4 - технически неустойчивой системе. Из рис. 3.34 видао, что система может быть одновременно устойчива технически и неустойчива асимптотически (кривая /) и, наоборот, неустойчива технически и устойчива асимптотически (кривая 3). Так как в нестационарной системе изменение х (t) зависит от момента подачи входного сигнала g (t), то на техническую устойчивость будут оказывать влияние и начальные условия, и характер входного сигнала.

В настоящее время не существует достаточно простых и достаточно общих критериев технической устойчивости. По существу, единственный способ проверки устойчивости нестационарных систем заключается в нахождении кривой выходной величины X (О при заданном входном воздействии g (t) (внешнем возмущении). Определение х (t) производят обычно либо с помощью различных приближенных аналитических методов, либо методами математического моделирования на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

Глава 4 h

hycT

методы оценки {качества {регулирования шинейных систем

§ 4.1. Общие положения

При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса. Будем, как и в предыдущих главах, предполагать, что система автоматического регулирования описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изменении воздействия g (t) на входе системы (рис. 4.1) выходную величину X (t) можно записать так:

x(t) = x(f)+x{t), (4.1)

где X (t) - решение дифференциального уравнения, описывающего систему; Хсв (О - свободная составляющая переходного процесса, соответствующая общему решению однородного дифференциального уравнения.

Если последнее не имеет кратных корней, то

(4.2)

где Ci - постоянная интегрирования, значение которой определяют параметры системы и начальные условия; Sj - корни характеристического уравнения замкнутой системы D (s) == 0; х (О -