fio(s + ail)I(s + azjf+ ... (s + Ja )=0. (3.34)

Уравнение (3.34) также приводится к виду уравнения (3.30) с положительными коэффициентами.

Для систем первого и второго порядков необходимое условие устойчивости является и достаточным условием устойчивости, поскольку в этом случае при положительных коэффициентах характеристического уравнения все его корни являются левыми. Однако для систем третьего и высишх порядков положительность коэффициентов характеристического уравнения являежя необходимьш условием устойчивости, но не достаточньш. В этом случае все вещественные корни характеристического уравнения (если они есть)левые, комплексные же корни могут быть и правыми.

Критерии устойчивости Рауса и Гурвица позволяют по коэффициентам характеристического уравнения (3.30) без вычисления его корней сделать вывод об устойчивости системы.

Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий устойчивости был в 1877 г. предложен английским математиком Э. Раусом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее просто поясняется табл. 3.1.

В первой строке табл. 3.1 записывают в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения (3.30), имеющие четный индекс: а, а, а, а, во второй строке - коэффициенты (3.30) с нечетным индексом: Oi, з. Од, о ... .

Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют как

<h. t~!i+l, 1-2, - Ck+l, i-l> (3.35)

Гг ==Ci. iJCx, t-i. (3.36)

В (3.35) и (3,36) k - индекс, означающий номер столбца табл. 3.1; i - индекс, означающий номер строки табл. 3.1.

Заметим, что число строк таблиц Рауса равно степени ха рактеристического уравнения плюс единица (п> + 1).

После того как таблица Рауса заполнена, по ней можно судить об устойчивости системы. Условие - устойчивости Рауса формулируется так: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы

коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т. е. при а >0 были положительными:

Си= о>0; Cia=ai>0; Ci3>0; ...; Ci. +i>0, (3.37)

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса,

Критерий Рауса особенно удобен, когда заданы числовые значения коэффициентов характеристического уравнения (3.30). 1В этом случае определение устойчивости можно выполнить довольно быстро даже при характеристических уравнениях высокого порядка.

Форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу Рауса, очень удобна для программирования ЭВМ, поэтому критерий Рауса нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость либо коэффициентов характеристического уравнения, либо отдельных параметров системы, не очень сложным образом входящих в эти коэффициенты, с помощью быстродействующих ЭВМ.

Пример 3.1. Пусть характеристическое уравнение системы £> is)- = S + 6s5 + 21s4 + 445 + 62s + S2s + 100 = 0.

Для определения устойчивости системы по коэффициентам этого уравнения составим таблицу Рауса (табл. 3.2).

Имеется две перемены знака коэффициентов первого столбца: следовательно, система неустойчива, а характеристическое уравнение имеет два правых корня.

Критерий устойчивости Гурвица. В Ш95 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения (3.30) строят сначала главный определитель Гурвица

О % йз

.. о

.. О .. О

О йо Й2 Й4

0 0 0 0

(3.38)