цы, Т. е. является беспоисковым. Поиск, особенно в виде полного или частичного перебора точек плоскости параметров, не всегда является целесообразным из-за затрат машинного времени и отсутствия уверенности, что точка искомой области может быть найдена, если область имеет малые размеры. О-ра&бтнт принципиально позволяе! сразу найти границы области устойчивости в плоскости интересующих проектировщика параметров. Однако свойства метода таковы, что помимо действительных кривых, являющихся границами искомой области, появляются посторонние . Посторонние кривые представляют собой границы областей на плоскости параметров, соответствующих одинаковому числу корней, расположенных справа от мнимой оси. Например, одному корню в правой полуплоскости соответствует определенный диапазон изменения параметров на плоскости параметров. Два корня соответствуют другому диапазону изменения параметров, три корня - третьему и т. д. При больших порядках характеристического полинома переплетение истинных и посторонних линий может принимать самые причудливые формы и выбор действительных кривых среди большого количества линий оказывается весьма трудной задачей при программировании. При изменении со кривые могут претерпевать бесконечные разрывы второго рода и ветви могут уходить в бесконечность.

При ручных расчетах для выделения искомой области служит графическая процедура штриховки по Неймарку. Суть ее состоит в том, что при движении по кривой в сторону возрастания со штриховку наносят слева, если определитель положителен, и справа, если он отрицателен. При изменении со от -сю до +00 получается двойная штриховка, так как при со = О изменяется знак определителя системы. Если определитель обращается в нуль,то это приводит к бесконечному разрыву второго рода. Особенности имеются и при штриховке особых прямых. Более подробные сведения об этом можно найти в работах [3, 8].

Штриховка затрудняет полноценную машинную реализацию метода D-разбиения. Выбор действительной области среди претендентов, к тому же часто разбросанных во всех квадрантах, заставляет привлекать алгебраические критерии, методы непосредственного вычисления корней. Недостатком метода является также его недостаточная универсальность. Варьируемые параметры должны входить в коэффициенты характеристического уравнения линейно, возникают трудности при задании расположения корней внутри трапеции, угла или других

фигур в левой полуплоскости. Все же метод D-разбиения является единственным беспоисковым методом и может быть с успехом использован при построении областей устойчивости не только в автоматических системах, но и в численных методах. D-разбиение может также использоваться в качестве параллельного или вспомогательного метода.

Метод D-разбиения можно существенно видоизменить, упростить и сделать более универсальным путем введения полиномов Чебышева. Полиномы Чебышева, обладая свойствами как гармонических, так и-ортогональных функций, являются уникальными и как будто специально созданы для применения на ЭВМ. Они, в частности, позволяют вести операции в вещественной арифметике, что само по себе перспективно с точки зрения возможной модификации некоторых традиционных методов, ибо расчеты в комплексной арифметике увеличивают объем вычислений в четыре раза.

Другой пример - автоматизация построения передаточных функций в сложных структурных схемах. Наиболее распространенные алгоритмические языки приспособлены для операций с числами и пе вполне подходят для обработки буквенной информащ1И. Новые вычислительные методы, создаваемые на основе графов и структурных чисел, позволяют обойти эти трудности и значительно уменьшить ошибки округления.

Машинная реализация ЛЧХ имеет ряд особенностей. Получение амплитудной характеристики не вызывает затруднений. Трудность кроется в вычислении фазовой характеристики, которая в общем случае находится не только в первом квадранте, т. е. является разрывной. Видоизменение метода частотных характеристик применительно к машинной реализации приводит к предотвращению ложных скачков фазы и в целом повышает информационную ценность метода частотных характеристик. Например, в перспективе оказывается целесообразным строить новые частотные характеристики - изамплиты (линии равных запасов устойчивости по амплитуде) и изофазы (линии равных запасов устойчивости по фазе). Таким образом, машинная ориентация частотных методов приводит к появлению новых способов машинного анализа и синтеза.

§ 6.2. Анализ устойчивости по уравнениям

переменных состояния

и по характеристическому уравнению

Пусть процессы в системе описываются уравнением (6.1). Для того чтобы система (6.1) была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа S; (i = I, п) матрицы А имели отрицательные действительные части, т. е. лежали слева от мнимой оси плоскости комплексного переменного s.

Рассмотрим характеристическое уравнение

(А-sE=0, (6.4

где Е - единичная матрица.

Корни Si характеристического уравнения (6.4) являются собственными числами матрицы А. Совокупность всех собственных чисел образует спектр матрицы А. Сумма элементов, стоящих на главной диагонали, образует след матрицы А и обозначается Sp А. След матрицы связан с ее собственными числами соотношением

Sp А = 2 Он = 2 Si, i = 1...., п. (6.5)

Раскрывая определитель А - sE , получим характеристическое уравнение

(~ly(s + as ~ +a - + ...-tan)=-0, (6.6)

где Qi - сумма всех диагональных миноров первого порядка, равная следу Sp А; г - сумма -всех диагональных миноров второго порядка матрицы А; - определитель матрицы А.

Анализ расположения всех собственных чисел-матрицы А относительно мнимой оси осуществляется по коэффициентам уравнения (6.6) с помощью известных критериев.В системах высокого порядка получение коэффициентов характеристического уравнения часто связано с серьезными трудностями чисто вычислительного характера.

Число диагональных миноров k-ro порядка матрицы А равно

.n(n-l)...(n-fe+l) j 2.....