ратной матрицы В называют действительное число В, удовлетворяющее условиям:

а) 11 ВЦ О, причем В = О, тогда и только тогда, когда-В = 0;

б) сВ = с-В (с-число), в частности -fi = --ВЦ;

в) B4-DJJB1 + 1DJ;

г) BD<B.D.

Здесь В и D - матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл. В частности, для квадратной матрицы имеем IIBII Вр, где ft - натуральное число.

Рассмотрим следующие легко вычисляемые нормы:

В[,-=тах 2 (6.14)

ЙВ =тах2 (6.15)

, Г--

В!ш = у (6.16)

./

II B:jt,v = п max 16,-1. (6.17)

Для того чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива В -> О при ft -> оо, достаточно, чтобы любая из норм матрицы В была меньше единицы:

В<1, (6.18)

т. е. достаточно, чтобы выполнялось условие

min ( В 1ь IIВ , IIВ ь IIВ ,v) < 1. (6.19)

Если условие (6.19) не соблюдается, то из этого не следует, что исследуемая точка пространства параметров системы является неустойчивой. Вопрос об устойчивости должен быть исследован дополнительно путем рассмотрения степеней матрицы В*>.

Пусть все собственные значения матрицы В лежат внутри единичного круга с центром в начале координат (pil<: 1, i = 1, 2, п), а все нормы матрицы В больше единицы. Рассмотрим последовательность степеней

в в*, в ,..., в *

в силу того что все собственные числа рг < 1, элементы матрицы В* начиная с некоторого k убывают, стремясь к нулю при k-*-oo. Тогда на каком-либо шаге В<1. Это условие является необходимым и достаточным при суждении об устойчивости системы.

Таким образом, оценка устойчивости по нормам выполняется в такой последовательности.

1. Строится матрица В по исходной матрице коэффициентов А системы (6.7).

2. Вычисляется какая-либо из норм матрицы В или контролируется условие (6.19). Если В<:1, то исследуемая точка пространства параметров принадлежит области устойчивости.

3. Если соотношение (6.19) не вьшолняется, то матрицу В следует возводить в степень и рассматривать нормы последовательных степеней:

цву, в*1, В ....,!В*.

Если при некотором фиксированном k какая-либо из норм стала меньше единицы В*< 1, то условие устойчивости В* О (ft ->. оо) соблюдается.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 6.1. Определим, является ли система к = Ах + F (О асимптотически устойчивой. Матрица А имеет вид

--0,9 3.1 -0,2-

Д= -0,4 -2,5 3,2 .

. 1,1 -1,5 -3,1. Функционально-преобразованная матрица В

-0,21792 -0,82742 -0,586387

В=Е-2(Е -А)-1= -0,11957 0,49057 -0,39177

. -0,28302 -0,03561 0,49820 Вычислим нормы матрицы В:

(IВII, = max 2 0,11957 -}- 0,49057 -f0,39177; 0,28302--0,03561 -Ь 0,49820] =

(bjy I = max [0,21792-1-0,82742-1-0,58638;

= max [1,63172;

1,00191; 0,816831=1,63172;

B = max У I 6j; = max[0,21792-bO,11957-1-0,28302; I 1=1 . f

0,82742 + 0,49057 + 0,03561; 0,58638+ 0,39177 +0,49820] = = max [0,62051; 1,3536; 1,476351 = 1,47635;

B,jj = yO, 217922 + 0,827422 + 0,586382 + 0,119572 0,490572 + +0,391772 + 0,283022 + 0,035612 + 0,498202 = =y0,047489 +0,6846238+ 0,34384 + 0,0142970 + 0,2406589+

+0,1534837 +0,0801003 +0,001268 + 0,24882032 == = У 1,8139639 = 1,34683.

При рассмотрении норм достаточное условие устойчивости не удовлетворяется, т. е.

min(BJ,; В1 ; В , ) - {1,63172; 1,47635; 1,34683 1.

Возведем матрицу В в степень:

- 0,31238 -0,204712 0,15981т

0,07828 0,35354 -0,31726 -0,07506 0,19896 0,42811 J

Норма матрицы В2 меньше единицы, что указывает на факт выголне-ния условия В*-> О при fe--oo:

/j J82 II, = max [0,676902; 0,74908; 0,69773 =0,74908 < 1.

£

Рассмотрим возможность оценки собственных чисел матрицы В по ее следу. Известно, что следы последовательных степеней матрицы В представляют собой суммы всех собственных чисел р-, взятых в той же степени, что и матрица В*=, т. е.

SpB =pHpt +ipf.

1= 1

Если система устойчива и В ->. О, то след Sp В также стремится к нулю при ft со.

Если сочетание параметров исследуемой точки пространства таково, что точка находится достаточно далеко от границы устойчивости, то матрицу В можно не возводить в степень, а воспользоваться достаточным критерием неустойчивости

SpB>n. (6.20)