с помощью нормированной фундаментальной матрицы решение неоднородного уравнения (2.74) при всех и х (о) = х можно представить в виде соотношения

X (О = X {t, g х<> + X (Л т) [Ви (т) + С/.(т)1 dx, (2.77) h

которое называется формулой Коши. В справедливости этой формулы легко убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (2.74), воспользовавшись при этом матричным уравнением

х(д==АХ(/, О; Х(о. д--=Е.

которое справедливо во всех t. Это уравнение следует из того, что каждый столбец фундаментальной матрицы является решением (2.75).

Отметим ряд основных свойств нормированной фундаментальной матрицы. Воспользовавшись (2.76), для любых t, t и tt, легко получить следующие равенства:

X и, п X (/:. ух (t. /о); х-1 ( g = х {t, t).

Если матрица А постоянна, то фундаментальная матрица X {t, Q зависит только от разности t-tM имеет вид X (- - о) = е Aff-o;. Матричная функция е f(-*>) называется экспоненциальной матрицей или матричным экспоненциалом и определяется суммой ряда

еА(- ) Е-4- А (t-Q Л- А {t-tf +... +

-Ь -A (-g -f... . (2.78)

Рассмотрим уравнение, сопряженное (2.75): z = - A z. Если Z {t, to) нормированная фундаментальная матрица этого уравнения, т. е.

ilbM. = - А Z (t, to); z (to. to) - E.

TO формулу Коши можно представить в виде

X (О = Z (to, t) X (to) + J Z (to, t) IBU (t) + Cf (T)l dx. (2.79)

Действительно, дифференцируя тождество X (t, tf,) t, (t, Q = E, получаем

. dt dt

AX {t, g x-i (. g + X g

= 0.

Из последнего уравнения

или после транспонирования

d[x-ut, -Ачх-мдг; [x-MggF=E.

Сравнивая это уравнение с уравнением для Z (f, g, получаем

z(i,g[X-i(/,

z4go=x-4go-x( g.

При подстановке этого выражения в (2.77) получается (2.79) Пример 2.8. Пусть система описывается уравнениями

или в матричной форме уравнением

х = Ах + В ,

Найдем нормированную фундаментальную матрицу, пользуясь (2.78). Так как

Х(/-/о) = еА<- ) =

Согласно формуле Коши, решение неоднородного уравнения при x {to) - имеет вид

х(0 =

откуда при скалярной записи получим ..!

Xi (0=-*S + {l~to) x + \ (t-x) и (T) dx; лг (0 + J (т) dx.

Преобразование дифференциальных уравнений к нормальной системе. Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно старшей производной, всегда можно привести к нормальной системе. Рассмотрим, как преобразуются уравнения одномерной стационарной линейной системы управления.

Пусть система управления описывается уравнением

(п) (n-U

аоУ-<ЧУ Ч-...-т-о 1/ = 6о - (2-80) Введем новые переменные

Xiy, Xi = X2, хХз,...; х ,=х . (2.81) Из (2.81) и (2.80)

(п) I h

Хп=-У-----{аг х Ч- х -1 + ... + а х) + и. (2.82)

о Оо

Объединяя (2.81) и (2.82), получим нормальную систему Xi~Xi+i, i==l,2,...,n - 1;

Х =---{Oi Х -I- OLj X i -Ь ... + G Xi) +-U.

(2.83)

эквивалентную исходному уравнению (2.80). Используя обозначения (2.81), легко определить решение системы (2.83), имея решение уравнения (2.80), и, наоборот, определить решение уравнения (2.80), имея решение системы (2.83).

Рассмотрим более общий случай, когда система управления описывается уравнением

(п) (п-1) (т) (т-I)

ОоУ + агУ +...+a y==boU + biU +...+bu; т<п, (2.84) или в символической форме (floP + OiP - -H...+a )y = (&oP + biP -4-... + <m) -