Рис. 3.2

устойчивом движении траектория Б должна быть близка к траектории А.

Следует заметить, однако, что близость траекторий А и Б является необходимым условием устойчивости движения, но недостаточным. Действительно, расстояние между точками и отвечающими одному и тому же моменту времени, может возрастать не только для расходящихся, но и для близких траекторий (рис. 3.2, б).

§ 3.2. Общая постановка задачи устойчивости по А. М. Ляпунову

Впервые строгое определение устойчивости было дано русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе Общая задача об устойчивости движения . Отсутствие такого определения часто приводило к недоразумениям, так как движение, устойчивое в одном смысле, может оказаться неустойчивым при ;фугом понимании этих слов, и наоборот. Определение устойчивости А. М. Ляпунова оказалось настолько удачным и наилучшим образом удовлетворяющим многим техническим задачам, что оно в настоящее время принято как основное.

Пусть движение системы автоматического управления описывается дифференциальными уравнениями, которые могут быть приведены к виду

dyi/di = Vi {У1,У2, ,yn,t).

(3.1)

где yt ~- вещественные переменные, характеризующие состояние системы управления (обобщенные координаты); Fj - известные функции переменных уг, Уъ<---,Уп времени t, удовлет-

воряющие условиям существования и единственности решения.

Исходное состояние системы при t = однозначно определяется начальными значениями переменных г/,-, которые

обозначим Ууо, Уго.....Упо-

Каждой совокупности начальных значений ую, уо,..., t/no соответствует единственное решение (3.1) для всех t > to

Vi = ydyio, .....{/no. t). (3.2)

Решение (3.2) описывает какое-либо движение системы, определяемое исходным состоянием.

Некоторое вполне определенное движение системы, подле-отщее исследованию на устойчивость, назьюают невозмуш/ен-ным движением.

Заметим, что выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Допустим, что в качестве невозмущенного движения выбрано такое, которое описывается заданными функциями времени

{/1= у\(t)\ y2=yi{t); Уп =Уп(О- (3.3)

Предположим, что функции у* (t) являются частным решением дифференциальных уравнений (3.1), т. е.

dyr{t)/dtYi(y\, yl.....yl, t), (3.4)

удовлетворяющим начальным условиям при t = to

yiyHU); У2 = У2{и)\ Уп-ynito)- (3-5)

В частном случае, когда параметры системы не изменяются со временем и функции Yi не зависят явно от t, движения (3.3) являются установившимися. Им отвечают решения

ус = const, (3.6)

служащие корнями уравнений

Yi (Уи У2, .... Уп) = 0. (3.7)

Изменим условия (3.5), дав начальным значениям переменных Уу, у2, Уп небольшие по модулю приращения е, Ej,..., Ёп, т. е пусть при t = to

Ух У\ (to) + 8ь % = у2 {to) + 8г; . ; Уп = Уп (to) f 8 . (3.8)

Движение системы отвечающее измененным начальным условиям (3.8), называют возмущенным движением. Другими ело-

вами, возмущенным движением системы называют всякое иное движение системы, отличное от невомущенного. Введем новые переменные

Xi = yi{t)~yi{t), . (3.9)

равные разности переменных r/j в возмущенном и невозмущенном движении. Переменные Xi называют отклонениями или вариациями величин i/j. Если все отклонения равны нулю

Xi = 0; Х2 = 0; х = О, (3.10)

то возмущенное движение yi (i) будет совпадать с невозмущенным движением г {t), т. е. невозмущенному движению отвечают нулевые значения переменных х-.

Пусть при t - to переменные Xi принимают какие-либо начальные значения Хю, из которых по крайней мере одно не равно нулю:

Xi = Xio = 8j. (3.11)

Начальные значения отклонений (3.11) называют возмущениями.

А. М. Ляпуновым было дано следующее определение устойчивости: невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным х если при всяком произвольно заданном положительном числе е, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое такое положительное число 6 (е), что при всяких возмущениях х, удовлетворяющих условию

2 4о<б. (3.12)

и при любом t ~ to будет вьтолняться неравенство

2 4(о<8, (3.13)

г= 1

в противном случае движение неустойчиво.

Определению устойчивости А. М. Ляпунова можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Совокупность отклонений х, х, Хп в п-мерном пространстве переменных xi, х, Хп определяет точку М (ее называют изображающей точкой). В возмущенном движении при изменении величин Xi, х, .... Хп изображающая точка будет описывать некоторую траекторию. Невозмущеиному движению xi = О отвечает неподвижная точка - начало координат.

Рассматривая, например, случай, когда i = 3, построим в трех-

мерном пространстве координат xt две сферы: сферу е = xf с ра-