Главная страница  Векторные методы процессов 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Можно показать, что если выполняется условие (6.20), то среди Pi найдется хотя бы одно, для которого справедливо условие IPi I > 1 Это означает, что система является неустойчивой.

Если соотношение (6.20) не удовлетворяется, никаких выводов относительно принадлежности исследуемой точки к области неустойчивости сделать нельзя. В этом случае можно рассмотреть поведение последовательности следов матрицы В*, т. е.

ISpBI; SpB*;...;SpB*.

Программу рекомендуется строить таким образом, чтобы на каждом шаге возведения матрицы В в степень контролировать условия устойчивости и неустойчивости.

Устойчивость Неустойчивость /В<1; SpB>n:

II ВЧК 1; SpB2>n-,

В*<1; SpB4(>n;

1В2 <1. SpB2 l>n.

m=I,2, 3, ...

Отметим, что функционально-преобразованные матрицы могут иметь различную структуру. Однако bj ьсех случаях алгоритм должен строиться так, чтобы однозначно устанавливалась принадлежность спектра матрицы В кругу радиуса г = 1 с центром в начале координат или некоторой области, вложенной в круг.

Возведение матрицы в степень требует операций умножения и (п - 1) операций сложения. Матричные операции хорошо поддаются распараллеливанию, и современные матричные процессоры позволяют значительно сократить время расчетов. Тем не менее существуют возможности уменьшения трудоемкости за счет изменения вычислительной схемы. Например, в некоторых ЭВМ для перемножения матриц применяется алгоритм Штрассена, в котором число операций умножения составляет /г °& = /г*, а число сложений 6п* - - п. Практически алгоритм Штрассена более эффективен лишь на высоких порядках матрицы.



§ 6.4. Матричный критерий устойчивости, не связанный с обращением матрицы

Вычислительные трудности, связанные с нахождением коэффициентов характеристического полинома по исходной матрице А уравнений переменных состояний пробудили интерес к машинно-ориентированным методам анализа устойчивости, в которых отсутствуют не только операция построения характеристического полинома, но и операция обращения матрицы. Операции обращения, где это возможно, желательно избегать.

В матричном критерии (6.13) в функционально-преобразованную матрицу В входит обратная матрица. Ее появление связано с использованием дробно-линейного преобразования (6.9). Рассмотрим подход в общем случае, устраняющий операцию обращения.

Вообразим себе, что мнимая ось является окружностью бесконечного радиуса. Изогнув ее, получим окружность конечного радиуса. Таким образом приходим к идее охвата области расположения спектра St матрицы А кругом. В дальнейшем такой круг отображается на единичный круг с центром в начале координат комплексной плоскости р или на некоторую область, расположенную внутри этого круга.

Пусть на плоскости s имеется круг радиуса R, в котором содержатся все собственные числа Si матрицы А. Центр круга находится на вещественной отрицательной полуоси в точке 1-R, 0]. Отобразим круг в левой полуплоскости на единичный круг плоскости р с помощью функции

s = /?(p-l). (6.21)

Подставим значение (6.21) в характеристическое уравнение (6.7). После несложных преобразований получим

B-pEl=0, (6 22)

В = Е + А ?. (6.23)

Тогда если все собственные числа S; матрицы А находятся внутри круга радиуса R в левой полуплоскости комплексного переменного 5, то все собственные числа pt функционально-преобразованной матрицы В лежат внутри круга единичного



радиуса с центром в начале координат на плоскости комплексного переменного р, т. е. IpJ < 1 (i = 1, п).

Имеет место следующее утверждение: для того чтобы все собственные числа St (i - 1, 2, п) исходной матрицы коэффициентов А системы (6.7) находились внутри заданного круга радиуса R, расположенного в левой полуплоскбсти и имеющего центр в точке I-R, 01, необходимо и достаточно, чтобы вьтолнялось условие

lim В:

fe->co

(6.24)

где В = Е 4 А ?; О - нулевая матрица.

Таким образом, условие принадлежности всех собственных чисел матрицы А кругу радиуса R, расположенному в левой полуплоскости, сводится к возведению функционально-преобразованной , матрицы В в степень и к изучению последовательности степеней по нормам и модулю следа. Аналогично может быть построен критерий с учетом произвольной степени устойчивости Т].

Пусть задан круг с центром в точке [-R - т], 01, в котором находятся все собственные числа матрицы А (рис. 6.1). Отображая этот круг на единичный круг с центром в начале координат, можно построить функционально-преобразованную матрицу.

Для того чтобы все собственные числа Sj матрицы А системы (6.7) лежали в левой полуплоскости внутри круга радиуса R с центром в точке 1-R -г\, 01, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось требование


lim В? = О,

к-уоо

Рис. 6.1

Bi = E-b(A-riE) ?; О -нулевая матрица.

Первоначальное значение радиуса может быть выбрано исходя из свойств конкретной исследуемой системы, когда представляется каким-либо образом косвенно оценить частоту ко-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

© 2000 - 2018 ULTRASONEX-AMFODENT.RU.
Копирование материалов разрешено исключительно при условии цититирования.