Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левым0, т. е. т=0. Отсюда суммарный поворот вектора р (/ю) устойчивой системы вокруг начала координат должен быть равен

AArg9(/o))iS=!l =2n;. (3.70)

где / - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой систерлы.

Обычно рассматривают только положительные частоты О) > О, в этом случае угол поворота вектора ср(/о)) будет вдвое меньше, т. е.

AArg(p(/o))ico= =n; = 2n 2. (3.71)

Таким образом, если разомкнутая система является неустойчивой и имеет / правых корней, то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика вспомогательной функции ср (/ю) при изменении часготы О) от О до со охватывает начало координат в положительном направлении 1/2 раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора ср (/ю) вокруг начала координат равно числу оборотов вектора W (/(о) вокруг точки (-1, /0).

На основании сказанного вытекает следующая формулировка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W (/ ) при изменении частоты т от Q до оо охватывала точку (-1, / 0) в положительном направлении t/2. раз, где I - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 3.13, а показана амплитудно-фазовая характеристика ср (/со), а на рис. 3.13, б - амплитудно-фазовая характеристика W /со), соответствующие устойчивой замкнутой системе, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней 1 = 2. Обычно в реальных системах W (/0))c= оо == о, и поэтому ф (/(о) с= со = 1.

При сложной форме характеристики W (/со) могут возникнуть затруднения при .определении числа ее оборотов вокруг критической точки (-1, /0). В этом случае для суждения об устойчивоеги удобно применять правило переходов , предложенное Я. 3. Цыпкиным.

Назовем переход характеристики W (/ю) через отрезок вещественной оси слева от точкц (-I, /0), т. е. через отрезок (-оо, -1), при возрастании со положительным, если он происходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика W (/ю) начинается на отрезке (- оо, -1) при О) == О или заканчивается на нем при ю = = оо, то в этих случаях считают, что она совершает полперехода.

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы W (/ю) через отрезок веиественной оси (- оо, -1) при изменении частоты ы от О до оо была равна 1/2, где I - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т. е. / = О, то приращение аргумента вектора ср (/ю) равно нулю:

AArg(p(/co)iSr!!=2n/ = 0.

(3.72)

Это означает, что для устойчивоеги- замкнутой системы необходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика ср (/ю) не охватывала начало координат (рис. 3.14, а), а амплитудно-фазовая характеристика W (/ю) не охватывала точку с координатами (-1, /0), (рис. 3.14, б).

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следую!дую формулировку критерия Найквиста: если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматичес-

Рис. 344

кого управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая трактеристика разомкнутой системы W (/со) не охватывает точку (-1, /0).

Амплитудно-фазовые характерисггики разомкнутых статических систем автоматического управления при изменении час-гаш со от - оо до оо образуют замкнутый контур. У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья , амплитудно-фазовые характеристики не образуют замкнутого контура. Для таких систем характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет корни, равные нулю, и может быть записано в виде

Q (S) = sQi (S) = О, (3.73)

rflev - порядок астатизма; Qi (s) - полином, неимекщий корней, равных нулю.

Частотная -передаточная функция разомкнутой астатической системы, содержащей интегрирующие звенья,

W im) = W (S) s= ,40 = R (s)/s- Qx (s) !s=,4o =

= i?(/(o)/[(/co)vQ,(/co)l. (3.74)

При coF= 0 частотная передаточная функция астатической системы обращается в оо, а ее амплитудно-фазовая характеристика претерпевает разрыв. Поэтому в этом случае трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая характеристика W (/ю) точку (-1, /0).

Векторы /О) при изменении частоты со от - оо до оо изменяют при переходе через начало координат фазовый угол скачком с - я/2 до я/2, но в каком направлении происходит их поворсл в момент перехода через начало координат, сказать невозможно. Чтобы освободиться от этой неопределенности.