в моменты времени t = khc значения вектора xfe следующие:

0,62 0,07--0,07 0,9

Х2=х(0,2) = Хз = х(0,3) =

0,62 0,065

-0,065 0,815j [0,38

0,655

Х4=х{0,4) =

0,62 0,06 -0,06 0,74

0,62 0,55 -0,055 0,675.

0,4308 0,267125

0,2831235-0,1718245

0,4308 0,267125.

0,2831235 0,1718245

0,18498691 0,10040982]

Дальнейший ход процессов изображен на рис. 6.4.

§ 6.5. Векторные методы построения переходных процессов в линейных системах

Анализ устойчивости путем формирования и возведения в степень функционально-преобразованных матриц, а также с помощью других эффективных способов аппроксимации матрицы ехр (А /) таит в себе скрьггые возможности построения переходных процессов. За счет увеличенного шага можно получать семейство процессов относительно всех переменных состояния. Слишком большие значения шага увеличивают погрешность в решении, однако качественная сторона процессов в решении сохраняется.

Рассмотрим автоматическую систему, описываемую уравнением

x = Ax + F(0.

(6.30)

где F if) - вектор внешних возмущений.

Решение системы х (t) при начальных условиях х (0) = = Хо может быть точно представлено в аналитическом виде:

X (О = ехр (АО Хо + j ехр [А {t -т)] F (т) d%. (6.31)

Ставится задача найти аппроксимацию точной записи решения (6.31) уравнения (6.30).

Положим

t kh\ Xft=x(<ft); ft = 0, 1,2.....

где h - шаг построения процессов. Из (6.31) получаем

Xft = ехр {\hk) Хо + J ехр [А {kh -т)] F (т) dr.

Введем обозначения

Vft = ехр (АМ)Хо; Zft = J ехр [А {kh -т)1 F (т) dr, о

тогда

Xh-y + z,. (6.32)

Будем вычислять интеграл Zr приближенно по формуле прямоугольников с шагом h - l/R. Используя значения подынтегральной функции на левых концах частичных промежутков, получим

kh ft-1

J ехр [А {kh -т)] ¥{r)dx==h 2 ехр [А {kh-ih)] F {ih) =

о t=0

fe-1

в качестве ехр {Ah) выберем функционально-преобразованную матрицу Dm (см. § 6.4). Имеем

y,=-=DXo; = Di~F{ih). =0

Учитывая (6.32), получим

Xft=D*x +/i (6.33)

fe-i

Соотношение (6.33) запишем следующим образом:

Xh+i-it+xo + A i D*+-F(.-A). о

Преобразуем правую часть этого равенства:

2 >m-F(tft)+F{M)

Сравнение с уравнением (6.33) позволяет алгоритм построения переходных процессов представить в виде

Xfi+i = Dm [Xft + ЛР (kh)], ft- 0. 1, 2, .... (6.34)

Если использовать точность построения переходных процессов, соответствующую точности усовершенствованного метода Эйлера, то формула (6.34) принимает вид

x,+i=(E+Aft + -)[x,-fftF(ftft),. (6.35)

Последовательные значения искомого вектора переходных процессов находятся таким образом:

xi = + М + ) [Хо + AF (0)1;

х2 = е + а/г-4

=(е+м+

21 21

fXi + ftF(/i)l;

)[х2 + АР(2Й)1; ...

Алгоритм (6.34) может использоваться для построения переходных процессов в линейных системах при внешних воздействиях, менякацихся в широком диапазоне. Последние могут быть достаточно интенсивными, иметь разрывы. Значения функции F (kh) могут определяться по ходу вычислений или вводиться таблично.

, Алгоритм (6.34) не накладывает каких-либо принципиальных ограничений на шаг построения процессов, кроме условия нахождения спектра St матрицы А внутри круга с центром в точке [-R, 01 в левой полуплоскости. Процесс будет численно устойчив, если шаг выбрать кратным величине h. Пусть вначале вычисления осуществляются с шагом h до точки h = Ih (t шагов длиной h), а затем вычисления продолжаются о