§ 6.6. Векторный способ построения переходных процессов в нелинейных системах

Пусть динамика автоматической системы описывается векторным нелинейным дифференциальным уравнением

x = f(x, t). (6.41)

Представим систему (6.41) в виде линейной и нелинейной частей:

.x=Ax4-F(x, О- (6.42)

Пусть спектр матрицы А системы (6.42) расположен в левой полуплоскости. Точное решение системы (6.42) можно представить в аналитическом виде:

X (О = ехр (АО Хо + j ехр [А {t- т)] F [х (т), т] dx. (6.43) о

При интегрировании с шагом h получим рекуррентную формулу

(A+l)ft

Xft+i = ехр (АЛ) {Xft f ехр [А (kh - т)] X

XF[x(t), x]dx}, ft=0, 1, 2, ....

Вычислим интеграл в правой части рекуррентной формулы. Используя правило прямоугольников и принимая на левом конце т = kh, получим

f explA(kh-x)]Fix(x), x]dx = hF(x, kh).

Таким образом, имеем

x,+i = ехр (АЛ) [Xfe + hF (х kh)]. (6.44)

Для повышения точности построения переходных процессов применим правило прямоугольников не ко всей подьште-гральной функции, а только к функции F [х (т), т], т. е. будем считать, что на длине одного шага на промежутке [kh, (k + 1) Л1 .

F[x(t), t] = F(x ЙЛ).

в этом случае

Xft+i = ехр {Ah) Далее,

Xft + F(Xh, М) J ехр[А(/гЛ-т)]Л1,

J ехр [ А (М - x)dx] = j ехр (- Ат) dx

= -А- [ехр (-АЛ) -е] = А-1 [е - ехр (-Ah)]. Матричную экспоненту представим в виде

exp(-Aft)=E-AA+if)l-if)l + ....

Имеем

f exp[A(M)-T]dx= A-(Aft ifl -1--..). .

Вынося Ah за скобку и учитывая, что А-А = е, получим j exp[A(M-T)]dT = ft(e--+i-...).

Итак, имеем следующий алгоритм для построения переходных процессов:

X,. = ехр (АЛ) [х, + h [е - -1- ... j F (х k,) .

... (6.45)

Обозначим

Q(A/t) = e-(6.46)

Формулу (6.45) можно записать в виде

Xfe+i = ехр (АЛ) [Xfe + hQ {Ah) F (x, kh)]. (6.47)

Более точные формулы для вычисления x+i можно получить, используя большое число членов ряда (6.46). В качестве ехр (АЛ) можно подставлять функционально-преобразованные, матрицы Di, .... D4 или использовать другие способы прибли-

жения. Отметим, что алгоритм с самого начала предполагает расположение спектра матрицы а слева от мнимой оси.

Выбор шага в изложенном способе построения переходных процессов легко осуществляется по линейной части системы. В случае сильного влияния нелинейностей выбор шага осуществляется другими методами. Подробное их рассмотрение выходит за рамки данного учебника.

Изложенный векторный способ может бьггь распространен на построение переходных процессов в нелинейных нестационарных системах.

Пример 6.5. Для иллюстрации рассмотрим пример. Пусть нелинейная система описывается уравнениями

: - 5a-i -2л:2 + 5л:1л:2 + 0.5лг + л:.

Начальные условия х (0) = 1; х (0) = 0.5. Требуется построить процессы в системе, удовлетворяющие заданным начальным условиям. Представим систему в виде линейной и нелинейной частей:

x = Ax+F(x),

О 3

-5 -2

F(x) =

XiXz+xl

5a:i а-2+0,5а-2 + а.

Используем функционально-преобразованную матрицу Dj. В качестве Q выберем матрицу Qj. Шаг примем равным 0,1, что соответствует выбору его по линейной части. В общем случае такой выбор не может быть универсальным и зависит от вида нелинейной функции.

Алгоритм построения процессов имеет вид

Xft+i= Da [XA-f ftQa F (Xft, kh)\. Построим матрицы Dj и Qj:

D2=E+.AA-f

-0,15 -0,06 0,1 -0,11

-АЛ =

Вектор нелинейной части для каждого шага пересчитывается. Для момента времени t = h = 0,1 с вектор F (х, Щ равен

1-0,5 +1

5-10,5 -1-0,5-12-f 0.52

F(Xo) =