Изображение отклонения (/) по Лапласу

1 1 1 L ili±iZL

S l + W (s) ~ s s(\+sT)+ Г

sT + 1 bos+bi

5cB(s)=--ttge(s)= -

где 6 - a = 7: 6, = fli = I: =

Воспользуемся данными табл. 4.1 и определим значение j5j0 для п = 2:

/20 = (Ь! Оо+Ь§ а2)/(2ао fli а) == (Г + Г fe)/(2Гй) = (1 + kT)/(2k).

Определим изображение производной (t) из свойства преобразований Лапласа:

ёсв (О = scB (s)-есв (0). По теореме о предельном переходе,

есв (0)= lim все (О Нт св (s)= lim ---- = I.

t-*u s->oo s->-oo qo s-j-fli s-rfla

Тогда L (ecB (01 = (60 s+bi s)/(a -f oi s+ Ог) - I ==

- -fe/(sT + s + fe) = (60 s+fri)/(ao s2-f oi s-f oij),

где 6o = 0; 6 = -ft; oo = T ; oi = i; k.

Теперь можно определить интеграл

пользуясь формулой для из табл. 4.1 для п - 2:

,2у ,2:1о±6а2.а 2. 2ао ail йг

Итак, = (1 -[- кГ)/(2к) + хЧ12. Определим /гопт из dJJdh = О, т. е.

dJiildk==( - 2 + 2fc2 t )/(4ft2) = (- 1 + T2)/(2fe2) = 0.

откуда ftt-l; йопт=УТ7та= 1/t = 2c-i.

Оптимальный переходный процесс описывается в соответствии с формулой (4.69) выражением

ес1<(0=есв(0)е-/==е-; 21 rain= -+ - = 055-

Так как есв(О)--1, то по (4.66) наименьшее значение оценки 21 = =aTieg (0) =ti =0,5. Следовательно 6 = /aimin- -гипт =0,05. Согласно (4.70) Аесв(0= ±Уб/т= 1/0,05/0.5 ±0,33 (рис. 4.2).

Интегральные оценки качества широко используются при синтезе оптимальных САУ в качестве критерия оптимальности.

§ 4.8. Частотные методы оценки качества регулирования

Частотные методы исследования систем управления широко используют в инженерной практике. Они основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик системы, поэтому нашли применение при расчетах систем автоматического управления и позволили раз-рабогать ряд удобных инженерных методов анализа и сиетеза систем автоматического регулирования. В СССР большую роль в пропаганде и развитии частотных методов сыграли работы В. В. Солодовникова. В них приведены метод оценки качества по вещественным частотным характеристикам, метод построения переходных процессов по вещественным трапецеидальным характеристикам при ступенчатых воздействиях, а также метод синтеза корректирующих устройств. В рабогах была доказана возможность применения частотных методов к различным системам с распределенными параметрами и с запаздыванием. Применение этих методов позволяет определить такие важные показатели качества, как быстродействие, перерегулирование, колебательность процесса. Эти вопросы хорошо освещены в литературе, и имеется большое количество вспомогательных таблиц и графиков, что в значительной степени упростило инженерные расчеты.

Прежде всего остановимся на аналитической зависимости между переходной характеристикой и частотными характеристиками системы. Если на линейную систему воздействует гармонический сигнал, то и установившееся значение выходной величины будет гармоническим:

X (/со) - ИЛ/со) С (/со), (4.71)

где X (/со) - изображение выходной величины х (t) по Фурье; G (/со) - изображение входной величины g (О по Фурье;

(yto) - комплексный коэффициент усиления замкнутой системы.

При воздейсгвии на систему единичной ступенчатой функции g (О = 1 (О выходная величина, являющаяся переходной характеристикой системы h {t), определяется через вещественную частотную или мнимую частотную характеристику замкнутой системы:

jf (f) = ft (f) 2- г LM. sin odd(u, (4.72)

я J (I)

где P (to) - вещественная частотная характеристика замкнутой САУ;

x(0-ft(0 =

Q(co)

COS соШ + Р (0),

(4.73)

где Q (со) - мнимая частотная характеристика замкнутой системы.

Определение переходной характеристики по (4.72), (4.73) возможно лишь численными методами с применением ЦВМ. Но возможен и другой путь, связанный с аппроксимацией вещественной и мнимой частотных характеристик линейно-кусочными функцями. Это позволяет получить достаточно удобные выражения для приближенного построения переходной характеристики.

Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по обобщенным веш,ествен-ной и мнимой характеристикам:

P g( )Re[irg,(/co)G(/co)]; Qog(co)=Im[Ug,(/ )G(/ )b

(4.74)

где G (/со) = J (О е-< dt - изображение входного воздей-

ствия g (t) по Фурье. При этом необходимо, чтобы полюсы функции W (s) G (s) располагались слева от мнимой оси.

Рассмотрим основные свойства вещественных частотных характеристик и соответствующих им переходных процессов. Из (4.72) следуют основные свойства Р (со) и ft (О- Приведем их без доказательств.

1. Свойство линейности: если вещественную частагную характеристику можно представить суммой

sin соМсо,

(4.75)