Аналогично определяют импульсную переходную или весовую матрицу по возмущению:

wf(0 =

w\x{t)...w\t{t)

mil (t)... wit (t)

Здесь iiJij (t), is/pj it) - решение (2.59) многомерной системы, когда fj = 6 it), a все остальные возмущающие воздействия и параметры управления равны нулю.

Весовые матрицы, как и передаточные матрицы, дают полное описание многомерной системы (объекта).

Установим связь между весовыми и передаточными матрицами.

Согласно определению (2.63) передаточной функции Wij (s), Yiis) = W4iis)Uiis), t = l,...,p. (2.70)

Так как Uj (s) = L{6 ()} = 1 и yi it) - w ,- it) при Uj = = 6 () и остальных входных воздействиях, равных нулю, то из уравнения (2.70)

n-(s) = K(0}= wbit)e-*dt, (2.71)

t = 1,..., р; /= 1,..., т. Аналогично можно показать, что

W[iis)=L[w{iit)\= wiiit)e-*dt, i=I.....р, /-=!,...,/.

(2.72)

Таким образом, передаточные функции (элементы передаточных матриц) равны изображению Лапласа от весовых функций (элементов весовых матриц).

В матричной форме (2.71) и (2.72) принимают вид

W Cs) = L {w (0) = J w it) e-* dt;

Wf(s)-L{wf(0} = J wf(Oe- d

По оцределению, интеграл от матрицы равен матрице интегралов от ее элементов.

Запишем формулу для определения выходных величин по весовым матрицам при произвольных входных воздействиях. Учитывая, что оригиналами от передаточных функций являются весовые функции, и используя теорему о свертке, из (2.68)

Viis)- 2 W4i(s)Uf{s)+ 2 His)Pi(s), /= 1 /= 1

переходя к оригиналам, получим

т оо /=10

I со

+ Т, J if(.t--)fi(t)dT, t = 1....., p-

Эта система в матричной форме записывается как

оо оо

у(0=: с W ( -T)u(T)dT+ [ Wf(/-T)f(T)dT.

Таким образом, связь между выходными и входными величинами с помощью весовых матриц записывается так же, как и в одномерном случае.

Запись дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. При рассмотрении многих вопросов удобно, если уравнения одномерных и многомерных систем записаны в виде нормальной системы. Нормальной системой или системой в нормальной форме Коши называют систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. В частности, нормальной системой линейных дифференциальных уравнений называют систему

Xi= i aaxj+ S btjUj+ ctjfj, i=l,...,n. (2.73) /=1 /=1 /=1

В матричной форме она записывается как

x = Ax + BuH Cf, (2.74)

Матрицы-столбцы x, u и f также называют векторами. Вектор X называют фазовым вектором или вектором состояния, а его координаты Xi, x - фазовыми координатами. Вектор и называют вектором управления или просто управлением, а его координаты щ, ... Um - параметрами управления: Вектор f называют вектором возмущения или просто возмущением, а его /-Я координата - /-м возмущением или /-м возмущающим воздействием.

Наряду с неоднородным уравнением (2.74) рассмотрим однородное уравнение

х = Ах. (2.75)

Пусть х<1) = (4 ) xY, х(2) = (х(2) ,...,x<2))?,..., x( J = = (x<y), .... x<J)) образует n линейно независимых решений этого уравнения. Любую такую систему называют фундаментальной системой решений уравнения (2.75). Составим матрицу, полагая в качестве ее i-ro столбца t-e решение из фундаментальной системы:

Ф(0-

М (0...< > (О L 4>(о...4 Чо

Эту матрицу называют фундаментальной матрицей уравнений (2.73) - (2.75). Если при t = фундаментальная матрица обращается в единичную, то она нашается нормированной. Используя произвольную фундаментальную матрицу Ф (t), нормированную (обозначим ее X (t, tf,)) можно представить в виде

. X (Л /о) = Ф (О X (/о. to) = E. (2.76)